专题02 直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题）(典型题型归类训练)(解析版）

专题02直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.........................................................................................................1二、典型题型.........................................................................................................2题型一：求线面角............................................................................................2题型二：已知线面角求参数...........................................................................10题型三：求线面角最值（范围）...................................................................19三、专项训练.......................................................................................................27一、必备秘籍1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.如图，直线l是平面的一条斜线，斜足为M，斜线上一点A在平面上的射影为O，则直线MO是斜线l在平面上的射影.2、直线和平面所成角：（有三种情况）（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为0,2；（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为2；（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.结论：直线与平面所成角的范围为0,2.3、向量法设直线l的方向向量为a，平面的一个法向量为n，直线l与平面所成的角为，则cos,||||ananan，sin|cos,|an.二、典型题型题型一：求线面角1．（22·23上·河南·模拟预测）在三棱台111ABCABC-中，1AA平面ABC，90BAC，111224ABACAAAB．(1)证明：平面1ABC平面1CBC；(2)记1BC的中点为M，过M的直线分别与直线AB，11AC交于P，Q，求直线PQ与平面11ABC所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)0【详解】（1）取AC的中点D，则AD与11AC平行且相等，可得四边形11ADCA为平行四边形，则有112AACD，又2ADDC，故190ACCo?．又1AAAB，ACAB，1ACAAA∩，AC，1AA平面11ACCA，故AB平面11ACCA，又因为1CC平面11ACCA，故1ABCC，又因为11ACCC，1ACABA，1AC，AB平面1ABC，故1CC平面1ABC，而1CC平面1CBC，故平面1ABC平面1CBC；（2）以A为原点，AB，AC，1AA所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则12,0,2B，10,2,2C，0,4,0C，则1,2,1M，设平面11ABC的法向量为,,mxyz，则1100mABmAC，即220220xzyz，取1x，则1,1,1m．设,0,0P，0,,2Q，则1,2,1PM，1,2,1MQ，由题意知P，M，Q三点共线，可设PMkMQ，则1221kkk，解得124k，故2,0,0P，0,4,2Q，则2,4,2PQ，故242cos,0324mPQmPQmPQ，即//PQ平面11ABC，故所求线面角的正弦值为0．2．（22·23上·河南·模拟预测）已知ABC中，90ABC，6ABBC，13AADB，13AEAC，将ADEV沿DE折起，使点A到点A处，90DAB．(1)证明：平面ABE平面ADE¢；(2)求直线CD与平面ADE¢所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)13013【详解】（1）证明：因为13AADB，13AEAC，可得//DEBC，又因为90ABC，所以90ADEEDB，即,DEADDEBD，又ADDBD，且,ADDB平面ABD，则DE平面ABD，因为AB平面ABD，所以DEAB，又因为90DAB，即ABAD，因为DEADD，且,DEAD平面ADE¢，所以AB平面ADE¢，又因为AB平面ADE¢，故平面ABE平面ADE¢．（2）解：以D为坐标原点，以DE，DB所在直线为x轴、y轴，以垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则0,0,0D，6,4,0C，0,4,0B，6,4,0DC，在直角三角形ADB中，2AD，4DB，则0,1,3A，由（1）知AB平面AED，则AB为平面AED的法向量，且0,3,3AB，设直线CD与平面ADE¢所成角的角为，则1239sincos,135212ABDC，故直线CD与平面ADE¢所成角的余弦值为23913011313．3．（23·24·柳州·模拟预测）如图，三棱柱111ABCABC-的底面ABC是正三角形，侧面11ACCA是菱形，平面11ACCA平面ABC，,EF分别是棱11,ACBC的中点.(1)证明：//EF平面11ABBA；(2)若11122,3ACACCGCC，求直线11BC与平面EFG所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)15953【详解】（1）取11AB的中点M，连接,MEMB，因为,EF分别是棱11,ACBC的中点，则11////MEBCBF，111122MEBCBCBF，∴四边形MEFB为平行四边形，所以//EFMB，∵EF平面11ABBA，MB平面11ABBA，//EF平面11ABBA；（2）在平面11ACCA中过点1C作1COAC于O，连接OB，∵平面11ACCA平面ABC，平面11ACCA平面ABCAC，∴1CO平面ABC，由菱形11ACCA，12ACAC，得112,60CCACC，11,3OCCO，因为点O为AC的中点，∴OBAC，故以O为原点，1OBOCOC、、分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系：则1131233,0,0,0,1,0,0,0,3,0,2,3,0,1,3,,,0,0,,2233BCCAEFG，所以113,1,0BCBC，33313,,3,,,22263EFGF，设平面EFG的法向量为,,nxyz，则有3330223130263xyzxyz，解得423,55xzyz，令5z，得4,23,5n，设直线11BC与平面EFG所成角为，则114323159sincos,5316122531nBC，综上，直线11BC与平面EFG所成角的正弦值为15953.4．（23·24上·南充·模拟预测）如图所示，在圆锥DO中，D为圆锥的顶点，O为底面圆圆心，AB是圆O的直径，C为底面圆周上一点，四边形AODE是矩形．(1)若点F是BC的中点，求证：//DF平面ACE；(2)若π2,3ABBACACE，求直线CD与平面ABDE所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)134【详解】（1）OF、分别是ABBC、中点，连接OF，则//OFAC，OF平面,ACEAC平面ACE，则//OF平面ACE，四边形AODE是矩形，//ODAE，同理有//OD平面ACE，又OFODO，,OFOD平面DOF，故平面//ODF平面ACE，又DF平面ODF，故//DF平面ACE.（2）解法一：在圆锥DO中，DO平面ABC，DO平面,ABDE则平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，作CGAB于点G，连接DG，则CG面,ABDEDG是CD在平面ABDE上的射影，CDG是直线CD与平面ABDE所成的角，在直角三角形ABC中，π2,3ABBAC，则31,3,2ACBCCG，DO平面,ABCAEDO//，则AE平面ABC，在直角三角形ACE中，1AC，π3ACE，则3,3,2AEDOCD，在直角三角形CDG中，3sin4CGCDGCD，故213cos1sin4CDGCDG，即直线CD与平面ABDE所成角的余弦为134.解法二：在圆锥DO中，DO平面ABC，在直角三角形ABC中，π2,3ABBAC，则1AC，3BC，在直角三角形ACE中，π1,3ACACE，则3,3AEDO，建立如图所示的空间直角坐标系，则13130,0,0,1,0,0,0,3,0,,,0,,,3,1,0,32222CABODE，13,,3,1,3,0,0,0,322CDABAE，设,,mxyz是平面ABDE的法向量，则3030mABxymAEz，令3x得3,1,0mr，设直线CD与平面ABDE所成角为，则3sincos,4mCDmCDmCD，213cos1sin4.5．（23·24上·浙江·一模）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD平面ADEF，//EFAD，2AFAD，1EF，23CF，BE与CF交于点M．(1)若N是BF中点，求证：ANCF；(2)求直线MD和平面ABE所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)255【详解】（1）因为四边形ABCD为正方形，所以ABAD，因为平面ABCD平面ADEF，平面ABCD平面ADEFAD，ABAD，所以AB平面ADEF，又因为AF平面ADEF，所以ABAF，连接AC，则22AC，在ACF△中，2222222(22)(23)AFACCF，所以AFAC，因为AFAC，ABAF，,ABAC平面ABCD，且ABACA，从而AF平面ABCD，又AD平面ABCD，所以AFAD，因为ABAD，AFAD，,ABAF平面BAF，且ABAFA，所以AD平面BAF，又AN平面BAF，所以ADAN，又因为ADBC∥，所以BCAN，又N是BF中点，AFAB，所以ANBF，因为ANBF，BCAN，,BFBC平面BCEF，且BFBCB，所以AN平面BCEF，又因为CM平面BCEF，所以ANCM．（2）由（1）知，AF平面ABCD，且ABAD，以A为坐标原点，分别以AB、AD、AF所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则0,0,0A、2,0,0B、0,2,0D、0,1,2E，则(2,1,2)BE，(2,0,0)AB，(0,1,2)AE，由BCMEFM得，12EFMEBCBM，所以2424(,,)3333BMBE，所以224,,333M，244,,333MD