专题01 数列求通项（数列前n项和Sn法、数列前n项积Tn法）(典型题型归类训练)（解析版）

专题01数列求通项（nS法、nT法）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.........................................................................................................1二、典型题型.........................................................................................................2题型一：nS法：角度1：用1nnSS，得到na..................................................2题型二：nS法：角度2：将题意中的na用1nnSS替换...................................4题型三：nS法：角度3：已知等式中左侧含有：1niiiab..................................5题型四：nT法：角度1：已知nT和n的关系.....................................................7题型五：nT法：角度2：已知nT和na的关系....................................................8三、数列求通项（nS法、nT法）专项训练............................................................9一、必备秘籍1对于数列{}na，前n项和记为nS；①1231nnnSaaaaa；②11231(2)nnSaaaan①-②：1(2)nnnSSannS法归类角度1：已知nS与na的关系；或nS与n的关系用1nnSS，得到na例子：已知241nnSa，求na角度2：已知na与1nnSS的关系；或na与1nnSS的关系1nnSS替换题目中的na例子：已知12(2)nnnaSSn；已知11nnnSaS角度3：已知等式中左侧含有：1niiiab作差法（类似1nnSS）例子：已知123232nnaaana求na2对于数列{}na，前n项积记为nT；①1231nnnTaaaaa；②11231(2)nnTaaaan①②：1(2)nnnTanTnT法归类角度1：已知nT和n的关系角度1：用1nnTT，得到na例子：nb的前n项之积(1)*22NnnnTn.角度2：已知nT和na的关系角度1：用1nnTT替换题目中na例子：已知数列na的前n项积为nT，且121nnaT.二、典型题型题型一：nS法：角度1：用1nnSS，得到na例题1．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）记nS是数列na的前n项和，已知11,0naa，且*141,NnnnaaSn.(1)记2nnba，求数列nb的通项公式；【答案】(1)41.nbn【详解】（1）因为141nnnaaS，①所以12141nnnaaS，②②-①得，1214nnnnaaaa，因为0na，所以24nnaa，所以数列na的奇数项和偶数项分别是以4为公差的等差数列，令1n代入141nnnaaS，得12141aaS，由111aS，得25a，所以1212225,4nnnnbabbaa，所以数列nb是公差为4，首项为5的等差数列，其通项公式为41.nbn例题2．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知数列na的前n项和为nS，1132nnS．(1)求数列na的通项公式；【答案】(1)12,12,2nnnan【详解】（1）1132nnS①，当2n时，21132nnS②，两式①-②得：122nnan，当1n时，11111322aS，不符合上式，所以12,12,2nnnan；例题3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知等比数列na的前n项和为nS，且122nnaS.(1)求数列na的通项公式；【答案】(1)123nna【详解】（1）因为122nnaS，所以2n时，122nnaS，所以1122nnnnnaaSSa，所以132nnaan，因为2112222aSa，又因为na为等比数列，所以213aa，所以12a，则等比数列na首项为2，公比为3，所以123nna例题4．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列{}na的前n项和为nS，0na，12a，6(1)(2)nnnSaa．(1)求数列{}na的通项公式；【答案】(1)32nan【详解】（1）因为6(1)(2)nnnSaa，所以当2n时，1116(1)(2)nnnSaa，两式相减，得到22116(32)(32)nnnnnaaaaa，整理得1113()))((nnnnnnaaaaaa，又因为0na，所以13nnaa，所以数列{}na是公差为3的等差数列．当1n时，111166(1)(2)Saaa，解得11a或12a，因为12a，所以11a，由（1）可知13nnaa，即公差3d，所以1(1)1(1)332naandnn；题型二：nS法：角度2：将题意中的na用1nnSS替换例题1．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列na的前n项和为111,2,0,2nnnnnSaaaSS.(1)求nS；【答案】(1)2nSn【详解】（1）1112,0,2nnnnaaaSS，可得112nnnnSSSS，可得2212nnSS，即数列2nS为首项为2，公差为2的等差数列，可得22212nSnn，由0na，可得2nSn；例题2．（2023秋·河北唐山·高二校考期末）已知数列na中，14a，0na，前n项和为nS，若*1,2nnnaSSnnN．(1)求数列na的通项公式；【答案】(1)4,121,2,Nnnannn【详解】（1）若*1,2nnnaSSnnN，由111nnnnnnnaSSSSSS，可得11nnSS，则数列nS是首项为2，公差为1的等差数列，所以11211nSSnnn，即21nSn，当2n时，1121nnnaSSnnn，则4,121,2,Nnnannn例题3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知各项均为正数的数列na的首项11a，其前n项和为nS，且1nnnaSS（2n）．(1)求nS；【答案】(1)2nSn【详解】（1）11(2)nnnnnaSSSSn，111()()(2).nnnnnnSSSSSSn又110,0,1nnnnSSSS，又11S，数列{}nS是首项为1，公差为1的等差数列，1(1)1nSnn，故2.nSn例题4．（2023秋·安徽滁州·高三校考期末）记首项为1的数列na的前n项和为nS，且当2n时，2212nnnaSS(1)证明：数列1nS是等差数列；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）当2n时，2212nnnaSS，即21212nnnnSSSS，则2211222nnnnnnSSSSSS，可得112nnnnSSSS，所以1112nnSS，且11111Sa，所以数列1nS是首项为1，公差为2的等差数列．题型三：nS法：角度3：已知等式中左侧含有：1niiiab例题1．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知数列{na}满足：123232nnaaana．(1)求{}na的通项公式；【答案】(1)12,12,2nnnann【详解】（1）因为123232nnaaana，①所以2n时，1123123(1)2nnaaana，②①②得：11222nnnnna，所以12nnan，又12a，不符合上式，故12,1.2,2nnnann例题2．（2023秋·广东珠海·高三校考开学考试）已知数列na满足23333212321naaaann.(1)求na的通项公式；【答案】(1)2nan【详解】（1）由23333212321naaaann，得当1n时321282111a，即12a，当2n时，322333123121naaaann，则22223321812nannnnn，即2nan，当1n时，也满足上式，综上所述，2nan；例题3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）在数列{}na中，112311=123,(N)2nnnaaaanaan,.(1)求数列{}na的通项na；【答案】(1)21,123,2nnnann；【详解】（1）由Nn，12311232nnnaaanaa，得当2n时，123123(1)2nnnaaanaa，两式相减得：1122nnnnnnaaa，即1(1)3nnnana，而211aa，因此{}(2)nnan构成以222a为首项，3为公比的等比数列，则当2n时，223nnna，即223nnan，显然11a不满足上式，所以数列{}na的通项21,123,2nnnann.例题4．（2023春·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知数列na为正项等比数列，数列nb满足11b，23b，1122333232nnnababababn．(1)求na；【答案】(1)12nna【详解】（1）令1122333232nnnnTababababnL，当1n时，11132321abT，由11b，则11a；当2n时，222213223216abTT，由23b，则22a.由数列na为正项等比数列，设其公比为q，则212aqa，所以1112nnnaaq.题型四：nT法：角度1：已知nT和n的关系例题1．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知数列na的前n项的积*12N2nnnTn(1)求数列na的通项公式；【答案】(1)2nnan【详解】（1）123nnTaaaa，当2n时，112/221/2nnnnnnTaTnnn.当1n时，113aT，满足上式，2nnan.例题2．（2022秋·黑龙江大庆·高三阶段练习）已知数列na的前n项积222nnnT.(1)求na的通项公式；【答案】(1)232nna(1)解：（1）22122nnnnTaaa.当2n时，22223(1)2(1)1222nnnnnnnnTaT