素养拓展38 排列组合中的常见七种类型问题（精讲+精练）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展38排列组合中的常见七种类型问题（精讲+精练）①特殊元素（位置）法②捆绑法③插空法④倍缩法⑤排数问题⑥分组分配问题⑦涂色问题一、排列组合中常见问题及其技巧1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法3.定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．4.分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配．(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；②部分均匀分组，应注意不要重复；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解．5.涂色问题常用方法（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法；一、知识点梳理（2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；（3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数.二、方法技巧分类①特殊元素（位置）法【一般策略】对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。②捆绑法【一般策略】捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉.③插空法【一般策略】插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.④倍缩法【一般策略】部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法.⑤排数问题【一般策略】对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位.⑥分组、分配问题【一般策略】①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Ann(n为均分的组数)，避免重复计数．②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．⑦涂色问题【一般策略】解决涂色问题的一般思路(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题【典例1】从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？【详解】（1）方法一：把元素作为研究对象：第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有56A种排法；第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有46A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×46A种排法．由分类加法计数原理知，共有56A＋4×46A＝2160（种）排法．方法二：把位置作为研究对象，第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有16A种方法；第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有46A种方法；由分步乘法计数原理知，共有1466AA＝2160（种）排法.方法三：（间接法）先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉，不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有57A种，甲在首位的情况有46A种，所以符合要求的排法有57A－46A＝2160（种）.（2）把位置作为研究对象，先考虑特殊位置.第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有26A种方法；二、题型精讲精练第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有35A种方法；根据分步乘法计数原理，共有2365AA＝1800（种）方法.（3）把位置作为研究对象.第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有25A种方法；第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有35A种方法．根据分步乘法计数原理，共有2355AA＝1200（种）方法.（4）总的可能情况有57A种，减去甲在首位的46A种排法，再减去乙在末位的46A种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次35A种排法，所以共有57A－246A＋35A＝1860（种）排法.【典例2】班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单；(1)3个中唱歌节目要排在一起，有多少种排法？(2)相声节目不排在第一个节目，魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？【详解】（1）将3个唱歌节目捆绑在一起，看成1个节目有33A种，与其余3个节目一起排44A，则共有3434AA624144种不同排法．（2）若相声节目排在第一个节目，则有1525CA种不同排法，若魔术节目排在最后一个节目，则有55A种不同排法，若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有1424CA种不同排法，则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，所以共有615514625524ACAACA72024012048408种不同排法．【典例3】某学习小组有3个男生和4个女生共7人：(1)将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？(2)将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？(3)现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：①将3个男生全排列，有33A种排法，排好后有4个空位，②将4名女生全排列，安排到4个空位中，有44A种排法，则一共有3434AA144种排法．（2）根据题意，分2种情况讨论：①男生甲在最右边，有66A720，②男生甲不站最左边也不在最右边，有115555AAA3000，则有72030003720种排法．（3）根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，还有3个空座位，分2步进行分析：①将4名女生全排列，有44A种情况，排好后有5个空位可插，②将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有25A种情况，则有4245480AA种排法．【典例4】某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？(2)3位老者与2位年轻人都要分别按从大到小的顺序出场，顺序有多少种？【详解】（1）5位嘉宾无约束条件的全排列有55A种，由于3位老者的排列顺序已定，因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有5533AA＝20(种).（2）5位嘉宾无约束条件的全排列有55A种，由于3位老者的排列顺序已定，2位年轻人的排列顺序已定，出场顺序有553232AAA＝10(种).【典例5】用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．(1)在组成的五位数中，能被5整除的个数有多少？(2)在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?(3)在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?【详解】（1）能被5整除的数的个位数字为0，其它位置任意排，则有44A24个；（2）在组成的五位数中，先排个位数，从两个奇数里选，然后排万位数，不能为零，剩下其它位置任意排.所有奇数的个数有113233CCA=236=36个；（3）在组成的五位数中，把数字1和3捆绑在一起，1和3可以交换位置，又最高位不为0，先安排0，有3个位置，其余位置任意排，则有213233ACA23636个；（4）比30421小的五位数，若万位为1或2，其余位置任意排，即1424CA22448，若万位为3，比30421小的有5个，30124，30142，30214，30241，30412.从小到大排列，30421排第54个.【典例6】有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．(1)如果每人得两本，则有多少种不同的分法？(2)如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，则有多少种不同的分法？(3)如果把这6本书分成三堆，每堆两本，则有多少种不同分法？【详解】（1）有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人，如果每人得两本，即每人依次拿两本，则共有2223642333CCCA90A种方案（2）有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人，如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，则共有12336533CCCA360种方案（3）有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人，如果把这6本书分成三堆，每堆两本，则共有22264233CCC9015A6种方案【典例7】（单选题）如图，一圆形信号灯分成,,,ABCD四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（）A．18B．24C．30D．42【详解】若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么,AC，要么,BD相同，有2种方案，则不同的信号数为332A12；若只用2种不同的颜色灯带，则,AC颜色相同，,BD颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为2232CA6；则不同的信号总数为12618.故选：A．【题型训练1-刷真题】一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A．120B．60C．30D．20【答案】B【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为,,,,abcde，假设a连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有24A12种方法，同理：,,,bcde连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260种.故选：B.2．（2023·全国·统考高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A．30种B．60种C．120种D．240种【答案】C【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有16C种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列