素养拓展36 圆锥曲线与向量交汇问题 （解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展36圆锥曲线与向量交汇问题（精讲+精练）一、向量共线运用向量的共线的相关知识，可以较容易地处理涉及三点共线、定比分点、直线等问题。在处理圆锥曲线中求相关量的取值范围、求直线的方程、求待定字母的值、证明过定点等问题时，如能恰当的运用平面向量共线的相关知识，常常能使问题较快捷的得到解决.【一般策略】通过适当的设点，将向量关系代数化，再根据圆锥曲线的定义以及一些性质、直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题.二、向量的数量积向量的数量积将一些几何知识与代数知识充分的联系在一起，它可以处理垂直、长度、三角形面积和三角函数等问题。所以在解决圆锥曲线中的一些问题时，它通常可以运用在探索点、线的存在性、求参数的取值范围和求圆锥曲线的方程等方面.【一般策略】在圆锥曲线问题中运用向量的数量积，往往题目中出现了向量的数量积或构造向量的数量积，通过向量的数量积的表达式、意义和运算性质，从而达到将问题简化.三、相应的知识储备1.共线向量定理如果()abR，则//ab；反之，如果//ab且0b，则一定存在唯一的实数，使ab．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．2.数量积的运算（1）已知非零向量11()xy，a，22()xy，b，为向量a、b的夹角．结论几何表示坐标表示模||aaa22|xya|数量积||||cosabab1212xxyyab夹角cos||||abab121222221122cosxxyyxyxy一、知识点梳理ab的充要条件0ab12120xxyy∥ab的充要条件0（）abb12210xyxy||ab与||||ab的关系||||||abab(当且仅当ab∥时等号成立)1212||xxyy≤22221122xyxy(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线【典例1】已知点0,2A，椭圆2222:10xyEabab的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，且12APAQ，求OPQ△的面积及直线l的方程．【解析】（1）设,0Fc，因为直线AF的斜率为233，0,2A，所以2233c，解得3c．又22232cabac，解得21ab，所以椭圆E的方程为2214xy．（2）设11,Pxy、22,Qxy，由题意可设直线l的方程为：2ykx，联立22142xyykx，消去y得22(14)16120kxkx，当216(43)0k，所以234k，即32k或32k时，1221614kxxk，1221214xxk，由12APAQ，得212xx，代入上解得22122216614914kxkk，即2273204k，又22121214PQkxxxx2222222164841431141414kkkkkkk二、题型精讲精练点O到直线l的距离221dk，所以221443152144OPQkSdPQk△，此时直线l的方程为：315210yx或315210yx．【典例2】已知双曲线C的渐近线为430xy，右焦点为5,0F，右顶点为A.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当0AMAN时，求直线l的方程.【解析】（1）双曲线C的渐近线430xy化为034xy，设双曲线C的方程为22(0)916xy，即221916xy，又双曲线C的右焦点(5,0)F，则29165，解得1，所以双曲线C的标准方程为221916xy.（2）由（1）知，(3,0)A，设直线l的方程为1122,,,,yxmMxyNxy，显然3m，由221916xyyxm消去y整理得2271891440xmxm，显然0，21212189144,77mmxxxx，而11223,,3,AMxyANxy，则121233AMANxxxmxm212122(3)9xxmxxm222914418(3)907mmmm，化简得27542250mm，即(775)(3)0mm，而3m，解得757m，所以直线l的方程为757yx，即77750xy.【题型训练-刷模拟】1.向量共线一、解答题1．已知平面内动点,Mxy与定点1,0F的距离和M到定直线4x的距离的比是常数12．(1)求动点M的轨迹方程；(2)设动点M的轨迹为曲线C，过定点1,0F的直线l和曲线C交于不同两点A、B满足2AFFB，求线段AB的长．【答案】(1)22143xy(2)278AB【分析】（1）根据距离公式可得出关于x、y所满足的等式，化简可得点M的轨迹方程；（2）分析可知直线直线l不与x轴重合，设直线l的方程为1xmy，设点11,Axy、22,Bxy，由2AFFB可得出122yy，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，由122yy结合韦达定理可求得2m的值，然后利用弦长公式可求得AB的值.【详解】（1）解：因为面内动点,Mxy与定点1,0F的距离和M到定直线4x的距离的比是常数12，则221142xyx，整理可得22143xy，因此，点M的轨迹方程为22143xy.（2）解：若直线l与x轴重合，则A、B为椭圆C长轴的顶点，若点2,0A、2,0B，则1,0AF，3,0FB，此时13AFFB，不合乎题意，若点2,0A、2,0B，同理可得3AFFB，不合乎题意，所以，直线l不与x轴重合，设直线l的方程为1xmy，设点11,Axy、22,Bxy，联立2213412xmyxy可得2234690mymy，22236363414410mmm，因为2AFFB，即11221,21,xyxy，所以，122yy，即122yy，由韦达定理可得1222634myyym，所以，22634mym，221222269223434myyymm，解得245m，因此，22221212226914143434mABmyyyymmm2241211212753434845mm.2．已知椭圆C：222210xyabab的离心率12e，点1F，2F为椭圆C的左、右焦点且经过点1,0Fc的最短弦长为3．(1)求椭圆C的方程；(2)过点1F分别作两条互相垂直的直线1l，2l，且1l与椭圆交于不同两点A，B，2l与直线xc交于点P，若11AFFB，且点Q满足QAQB，求PQ的最小值．【答案】(1)22143xy(2)5【分析】（1）由通径性质、离心率和椭圆参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；（2）讨论直线斜率，设11,Axy，22,Bxy，00,Qxy，1l为1xmy，注意0m情况，联立椭圆方程应用韦达定理求12yy，12yy，结合11AFFB、QAQB坐标表示得到101220yyyyyy，进而有120122yyyyy求Q，再求P坐标，应用两点距离公式得到PQ关于m的表达式求最值，注意取值条件.【详解】（1）由题意，22222312bacaabc，解得24a，23b，所以椭圆的方程为22143xy．（2）由（1）得11,0F，若直线1l的斜率为0，则2l为=1x与直线1x无交点，不满足条件．设直线1l：1xmy，若0m，则1则不满足QAQB，所以0m．设11,Axy，22,Bxy，00,Qxy，由2234121xyxmy得：2234690mymy，122634myym，122934yym．因为11AFFBQAQB，即1122101020201,1,,,xyxyxxyyxxyy，则12yy，1020yyyy，所以101220yyyyyy，解得1201223yyyyym，则04x，即Q34,m，直线2l：11xym，联立111xymx，解得1,2Pm，∴223525PQmm，当且仅当62m或62m时等号成立∴PQ的最小值为5．3．经过点(2,4)A且倾斜角为135的直线与抛物线22(0)ypxp交于M，N两点，且AMMN，1ANMN，0．求p和．【答案】1p，512【分析】设1(Mx,1)y，2(Nx,2)y，写出直线MN方程与抛物线方程联立方程组，消元应用韦达定理得1212,yyyy，由向量共线的坐标表示得出12,,yy的关系，消去，代入韦达定理的结论求得p值，从而可得,MN的（纵）坐标，由此求得．【详解】根据题意可得MN直线方程为4(2)yx，即20xy，联立2202?        xyypx，可得2240ypyp，0p，△24160pp，设1(Mx,1)y，2(Nx,2)y，又(2,4)A，121224?    yypyyp，11(2,4)AMxy，22(2,4)ANxy，2121(,)MNxxyy，又AMMN，1ANMN，121221414yyyyyy，21221(4)(4)()yyyy，2121212124()16()4yyyyyyyy，24816416pppp，2340pp，又0p，1p，2240yy，15y，又12140yyy，115y，215y，121415451215(15)yyy．故1p，512．4．已知双曲线C：222210,0xyabab的渐近线方程为33yx，且过点6,1．(1)求双曲线C的方程；(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且20MQQF，求直线l的斜率．【答案】(1)2213xy(2)396k【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为33yx和双曲线过点6,1，联立求解；（2）由题意设直线方程为2ykx，令0x，得到M的坐标，设,Qxy，根据20MQQF，用k表示点Q的坐标，再根据点Q在双曲线上，代入双曲线方程求解.【详解】（1）解：因为双曲线C：222210,0xyabab的渐近线方程为33yx，所以33ba，又因为双曲线C：222210,0xyabab过点6,1，所以22611ab，解得223,1ab，所以双曲线的方程为2213xy；（2）由（1）知：2224cab，则2,0F，由题意设直线方程为2ykx，令0x，得2yk，则0,2Mk，设,Qxy，则,2,2,MQxykxyQF