素养拓展32 椭圆、双曲线中的焦点三角形问题（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展32椭圆、双曲线中的焦点三角形问题（精讲+精练）一、椭圆、双曲线中的焦点三角形面积公式1.如图1所示，1F、2F是椭圆的焦点，设P为椭圆上任意一点，记12FPF，则12PFF的面积2tan2Sb.证明：如图，由余弦定理知22221212122cos4FFPFPFPFPFc．①由椭圆定义知：122PFPF，②则②·2－①得21221cosbPFPF，122212112sinsintan221cos2FPFbSPFPFb△．当90时，1222tan45FPFSbb△．2.如图2所示，1F、2F是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记12FPF，则12PFF的面积2tan2bS.证明：如图，由余弦定理知2221212122cosPFPFPFPFFF，22121212122cos2PFPFPFPFPFPFFF，2212122cos222PFPFaPFPFc，22122cos14PFPFac，2212221cossin2bbPFPF，∴12221221sin2sincos2222sintan22FPFbbSPFPF△．当90时，1222tan45FPFSbb△．一、知识点梳理二、椭圆、双曲线的焦点三角形中的离心率1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出12PFF的三边长之比或内角正弦值之比.公式：1212121221sin22sinsinFFFPFcceaaPFPFPFFPFF2.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研究出12PFF的三边长之比或内角正弦值之比.公式：1212122112sin22sinsinFFFPFcceaaPFFPFFPFPF.【典例1】设1F、2F是椭圆22184xy的两个焦点，点P在椭圆上，1260FPF，则12PFF的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，12243tan4tan3023PFFSb.【典例2】已知双曲线22:13yCx的左、右焦点分别为1F、2F，点P在C上，且1260FPF，则12PFF的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，122333tan30tan2PFFbS.【典例3】（2018·新课标Ⅱ卷）已知1F、2F是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若12PFPF，且2160PFF，则C的离心率为（）A.312B.23C.312D.31【解析】解法1：如图，12PFPF，2160PFF，故可设122FF，则13PF，21PF，二、题型精讲精练所以C的离心率121223131FFePFPF.解法2：如图，2112126030PFFPFFPFPF121221sinsin9031sinsinsin30sin60FPFePFFPFF.【典例4】已知1F、2F是双曲线2222:1xyCab的左、右焦点，点P在C上，12PFPF，且1230PFF，则双曲线C的离心率为_______.【解析】解法1：如图，由题意，不妨设21PF，则13PF，122FF，所以121223131FFePFPF.解法2：如图，由题意，2160PFF，1290FPF，所以121221sin31sinsinFPFePFFPFF.【题型训练-刷模拟】1.椭圆中的焦点三角形①离心率公式的直接应用一、填空题1.设1F、2F是椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点，P在C上且1PFx轴，若1230FPF，则椭圆C的离心率为_______.【答案】23【解析】如图，1230FPF且1PFx，故可设22PF，则13PF，121FF，所以椭圆C的离心率121212323FFePFPF.解法2：如图，12211123060FPFPFFPFFF121221sinsin3023sinsinsin90sin60FPFePFFPFF2.在ABC中，ABAC，1tan3ABC，则以B、C为焦点，且经过点A的椭圆的离心率为_______.【答案】104【解析】如图，不妨设3AB，1AC，则10BC，所以104BCeABAC.解法2：如图，110310tansinsin31010ABCABCACBsin10sinsin4BACeABCACB.3.过椭圆222210xyabab的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，椭圆的右焦点为2F，若21cos8AFB，则椭圆的离心率为_______.【答案】473【解析】解法1：如图，12221212121177coscos212sinsin8844AFAFBAFFAFFAFFAF，不妨设17AF，24AF，则123FF，所以1212347347FFeAFAF.解法2：如图，2211coscos28AFBAFF221211712sinsin84AFFAFF12213sincos4FAFAFF1212213sin474sinsin3714FAFeAFFAFF.4.在ABC中，2AB，1BC，且6090ABC，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率的取值范围为_______.【答案】52,23【解析】解析：如图，设6090ABC则2222cos54cosACABBCABBCABC，160900cos352AC，而12BCeABACAC，所以5223e.5.在PAB中，PAAB，12tanPBA，则以A、B为焦点，且经过点P的椭圆的离心率为_______.【答案】512【解析】如图，由题意，不妨设1PA，则2AB，5PB，所以251215ABePAPB.6.设1F、2F是椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点，点P在C上，且1245PFF，214cos5PFF，则椭圆C的离心率为_______.【答案】532【解析】如图，212143cossin55PFFPFF，12122121180135FPFPFFPFFPFF，所以1221212172sinsin135sin135coscos135sin10FPFPFFPFFPFF，故121221sin532sinsinFPFePFFPFF.7.在ABC中，30ABC，3AB，1BC，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率为_______.【答案】312【解析】2222cos1ACABBCABBCABC1AC椭圆的离心率312BCeABAC.8.过椭圆2222:10xyCabab的左焦点F作x轴的垂线交椭圆C于A、B两点，若ABO是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为_______.【答案】512【解析】如图，设椭圆C的右焦点为1F，ABO是等腰直角三角形AFO也是等腰直角三角形，不妨设1AFOF，则12FF，15AF，所以椭圆C的离心率121251215FFeAFAF.解法2：ABO是等腰直角三角形AFO也是等腰直角三角形，22bAFOFcbaca22222510102acaccacaeee.9.设1F、2F是椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点，过1F且斜率为3的直线l与椭圆C交于A、B两点，212AFFF，则椭圆C的离心率为_______.【答案】23【解析】解法l：如图，直线AB的斜率为12360AFF，又212AFFF，所以2190AFF，1230FAF，不妨设121FF，则12AF，23AF，所以椭圆C的离心率121212323FFeAFAF.解法2：如图，直线AB的斜率为12360AFF，又212AFFF，所以2190AFF，1230FAF，故椭圆C的离心率121221sin23sinsinFAFeAFFAFF.10.设1F、2F是椭圆2222:10xyEabab的左、右焦点，以12FF为直径的圆与椭圆的4个交点和1F、2F恰好构成一个正六边形，则椭圆E的离心率为_______.【答案】31【解析】如图，由题意，21ABFCDF是正六边形，所以1260AFF，2130AFF，1290FAF，故椭圆E的离心率121221sin31sinsinFAFeAFFAFF.11.已知P、Q为椭圆2222:10xyCabab上关于原点对称的两点，点P在第一象限，1F、2F是椭圆C的左、右焦点，2OPOF，若1133QFPF，则椭圆C的离心率的取值范围为_______.【答案】2,312【解析】如图，2121212OPOFOPFFPFPF显然四边形12PFQF是矩形，所以12QFPF，由题意，1133QFPF，所以2133PFPF，设12PFF，则213tan3PFPF，所以30，又点P在第一象限，所以21PFPF，故tan1，即45，所以3045，椭圆C的离心率121221sin111sinsinsinsin90sincos2sin45FPFePFFPFF，由3045可得754590，所以62sin4514，故2312e.②综合应用一、单选题1．设12,FF为椭圆22:15xCy的两个焦点，点P在C上，若120PFPF，则12PFPF（）A．1B．2C．4D．5【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12PFF△的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为120PFPF，所以1290FPF，从而122121tan4512FPFSbPFPF，所以122PFPF．故选：B.方法二：因为120PFPF，所以1290FPF，由椭圆方程可知，25142cc，所以22221212416PFPFFF，又12225PFPFa，平方得：22121212216220PFPFPFPFPFPF，所以122PFPF．故选：B.2．已知1F、2F是椭圆2222:10xyCabab的两个焦点，P为椭圆C上一点，且12PFPF.若12PFF△的面积为9，则实数b的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.【详解】由题意，122PFPFa，1212192PFFSPFPF，即1218PFPF，222124PFPFc，整理可得22121224PFPFPFPFc，224364ac，则229ac，解得3b.故选：A.3．已知1F，2F分别为椭圆22:11612xyC的两个焦点，P为椭圆C上