素养拓展12 ω的值和取值范围问题（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展12ω的值和取值范围问题（精讲+精练）一、与对称性有关(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是2T；(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是2T；(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离4T；二、与单调性有关三、与零点和极值点有关对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值，极值点的处理方法也是类似的.【典例1】若存在实数π(,0)2，使得函数πsin6yx(0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（）A．1,3B．1,13C．1,3D．41,3【详解】由于函数πsin(0)6yx的图象的一个对称中心为,0，所以ππZ6kk，所以二、题型精讲精练一、知识点梳理ππ6k，由于π,02，则πππ602k，因为0，所以可得：π1π66111202333ZZkkkkkk，故选：C【典例2】已知函数sin6fxx在区间,3上单调递减，则正实数的取值范围是（）A．302B．312C．413D．4332【详解】由题意知，0，令322262kxk，解得242,Z33kkxk，又函数()fx在区间()3,上单调递减，所以233423kk，解得4612,Z3kkk，当0k时，413.故选：C.【典例3】已知函数31sincos022xfxx在0,π上恰有2个不同的零点，则的取值范围为（）A．713,66B．713,66C．713,33D．713,33【详解】由题意可得31πsincossin()226fxxxx，由0,πx，得πππ(,π)666x，因为函数fx在0,π上恰有2个不同的零点，所以π713ππ2π,666，即713,66，故选：A【题型训练1-刷真题】一、填空题2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数cos1(0)fxx在区间0,2π有且仅有3个零点，则的取值范围是________．【答案】[2,3)【分析】令()0fx，得cos1x有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为02xπ≤≤，所以02xπ≤≤，令()cos10fxx，则cos1x有3个根，令tx，则cos1t有3个根，其中[0,2π]t，结合余弦函数cosyt的图像性质可得4π2π6π，故23，故答案为：[2,3).二、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）设函数π()sin3fxx在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A．513,36B．519,36C．138,63D．1319,66【答案】C【分析】由x的取值范围得到3x的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得0，因为0,x，所以,333x，要使函数在区间0,恰有三个极值点、两个零点，又sinyx，,33x的图象如下所示：则5323，解得13863，即138,63．故选：C．【题型训练2-刷模拟】1.与对称性有关一、单选题1．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）将函数5π3cos06fxx的图象向右平移π18个单位长度得到曲线C，若C关于点π,06对称，则的最小值是（）A．3B．6C．9D．12【答案】B【分析】利用三角函数图象变换结论求出变换后的函数图象额解析式，再由余弦函数的对称性的性质求的最小值.【详解】函数5π3cos6fxx的图象向右平移π18个单位长度得到的曲线的函数解析式为π5π3cos186gxx，由已知函数gx的图象关于点π,06对称，所以ππ5πππ61862k，Zk，所以193k，又0，所以的最小值是6，故选：B.2．（2023·浙江·统考二模）已知函数sin0,0fxAxA，若fx在区间0,π是单调函数，且ππ02fff，则的值为（）．A．12B．23C．12或23D．23或2【答案】B【分析】由()sin()fxAx在区间0,π是有单调性，可得T范围，从而得01；由(π)(0)ff，可得函数()fx关于π2x对称，又π(0)()2ff，()fx有对称中心为π,04,讨论π2x与π,04是否在同一周期里面相邻的对称轴与对称中心即可.【详解】()sin()fxAx在区间0,π是有单调性，0，112ππ22T，01；(π)(0)ff，函数()fx关于π2x对称，0x离最近对称轴π2x的距离为ππ0()22；又π(0)()2ff，()fx有对称中心为π,04；由题意可知：若π2x与π,04为不是同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．则3ππ+442T，可得πT，2,不符合舍去，若π2x与π,04为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．那么：1ππ+442T，可得3πT，23．综上可知23故选:B3．（2023·安徽马鞍山·统考三模）记函数π()sin()6fxx(0)的最小正周期为T，若ππ2T，且π()()8fxf≤，则（）A．113B．103C．83D．43【答案】C【分析】由最小正周期ππ2T可得24，再由π()8fxf即可得ππππ,Z862kk，即可求得83.【详解】函数()fx的最小正周期ππ2T，则π2ππ2，解得24；又π()8fxf，即π8x是函数()fx的一条对称轴，所以ππππ,Z862kk，解得88,Z3kk.又24，当0k时，83.故选：C.4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数π()sin()(0)3fxx，若对于任意实数x，都有π()()3fxfx，则的最小值为（）A．2B．52C．4D．8【答案】C【分析】根据给定条件，可得函数()fx图象的对称中心，再利用正弦函数的性质列式求解作答.【详解】因为对于任意实数x，都有π()()3fxfx，则有函数()fx图象关于点π(,0)6对称，因此πππ,Z63kk，解得62,Zkk，而0，所以当1k时，取得最小值4.故选：C5．（2023·全国·高三专题练习）设函数3sincos0fxxx，其图象的一条对称轴在区间,63内，且fx的最小正周期大于，则的取值范围为（）A．10,2B．1,12C．()1,2D．0,2【答案】C【解析】先利用辅助角公式化简，再求出函数的对称轴方程，由图像的一条对称轴在区间,63内，求出的取值范围，验证周期得答案【详解】解：3sincos2sin6fxxxx，由,62xkkZ，得,3kxkZ，取0k，得3x，取1k，得43x，由633，得12，此时2T，由4633，得48，此时2T，不合题意，依次当k取其它整数时，不合题意，所以的取值范围为()1,2，故选：C6．（2023·全国·高三专题练习）若存在唯一的实数π0,2t，使得曲线πsin(0)4yx关于直线xt对称，则的取值范围是（）A．37,44B．37,44C．37,22D．37,22【答案】C【分析】由题意得3,Z4tkk，0,2t，34k只有唯一的值落在0,2中，从而列不等式组可求出答案.【详解】由42tk，Zk，得34tk，Zk，0,2t，因为存在唯一的实数π0,2t，使得曲线πsin(0)4yx关于直线xt对称，所以3π4k只有唯一的值落在0,2（0）中，所以3ππ0427ππ42，解得3722，故选：C．7．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数π2cos13fxx，（0）的图象在区间0,2π内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（）A．50,3B．25,33C．75,63D．5,3【答案】A【分析】根据0,2πx，0，得到πππ,2π333x，数形结合得到ππ2π,3π33，求出答案.【详解】因为0,2πx，0，所以πππ,2π333x，画出2cos1yz的图象，要想图象在区间0,2π内至多存在3条对称轴，则ππ2π,3π33，解得50,3.故选：A8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数cos(0)4fxx在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（）A．（134，174]B．（94，134]C．[94，134）D．[134，174）【答案】C【分析】求出函数的对称轴方程为144kx，Zk，原题等价于1404k有3个整数k符合，解不等式1424143即得解.【详解】解：cos(0)4fxx，令4xk，Zk，则144kx，Zk，函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即1404k有3个整数k符合，1404k，得140101444kk，则0,1,2k，即1424143，∴91344.故选：C.9．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）已知函数π()cos()0,02fxx的最小正周期为T，若1()2fT，且函数()fx的图象关于直线7π3x对称，则的最小值为（）A．3B．53C．27D．17【答案】C【分析】先根据1()2fT，求得，再根据余弦函数的对称性即可得出答案.【详解】2πT，1()cos2πcos2fT，因为π02，所以π3，则π()cos03fxx，又因函数()fx的图象关于直线7π3x对称，所以7πππ,Z33kk，所以31,Z7kk，