第54练 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第54练离散型随机变量及其分布列、均值与方差（精练）一、双空题1．（2022·浙江·统考高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则(2)P，()E．2．（2021·浙江·统考高考真题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则mn，E.二、解答题3．（2023·全国·统考高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量iX服从两点分布，且110,1,2,,iiiPXPXqin，则11nniiiiEXq．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求EY．4．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．5．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m．以上（含950m．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．刷真题明导向假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）6．（2021·北京·统考高考真题）在核酸检测中,“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为111.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)7．（2021·全国·统考高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【A组在基础中考查功底】一、单选题1．甲、乙两人下象棋，胜者得1分，平局得0分，负者得1分，共下5局．用表示甲的得分，则3表示（）A．甲胜3局负2局B．甲胜4局负1局C．甲胜3局平2局或甲胜3局负2局D．甲胜4局负1局或甲胜3局平2局2．某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则9P（）8910P0.36a0.33A．0.69B．0.67C．0.66D．0.643．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为（）A．24B．20C．18D．124．随机变量的分布列如表所示，且21.2mn，则n（）0123P0.1mn0.1A．0.2B．0.4C．0.2D．05．已知随机变量1,2,3,2iPia，则2P（）A．19B．16C．14D．136．随机变量的所有可能的取值为1,2,3,4,5，且,1,2,3,4,5Pkakk，则a的值为（）A．130B．115C．30D．157．已知,0,1mn，离散型随机变量的分布列如下表，若1123P，则E（）03m2Pm512nA．34B．512C．1112D．958．设随机变量X的概率分布列如表所示，则(31)PX（）X234Pm1416A．14B．512C．12D．349．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数），则下列计算结果正确的是（）X0123P0.20.30.4aA．0.2aB．20.7PXC．1.5EXD．0.84DX10．若随机变量X的分布列如下表所示，则22ab的最小值为（）X0123P14a14bA．124B．116C．18D．1411．已知随机变量X的分布列如下表，则54EX（）X024P0.3a0.5A．16B．11C．2.2D．2.312．随机变量X服从两点分布，且10.2PX，令32YX，则2PY（）A．0.1B．0.2C．0.4D．0.813．随机变量Y的分布列如下表，且()3EY，则(35)DY（）Y02aP16m13A．10B．15C．40D．4514．随机变量X的分布列为X123P1214n则DX（）A．1116B．58C．916D．3415．已知随机变量ξ的分布列为123P12xy若158E，则D（）A．5564B．5764C．5964D．1二、多选题16．随机变量X和Y，其中127YX，且34EY，若X的分布列如表：X1234P14mn112则下列正确的是（）A．12EXB．94EXC．13mD．13n17．已知离散型随机变量X的分布列如下：X012Pa4a5a下列选项中正确的是（）A．a的值为0.1B．()0.44EXC．()1.4EXD．()1.4DX18．随机变量X的分布列如下：X1012P0.10.1a0.5则下列说法正确的是（）A．0.2aB．10.4PXC．1.2EXD．2.4DX19．随机变量X服从两点分布，若104PX，则下列结论正确的有（）A．314PXB．316DXC．3212EXD．3214DX20．随机变量X的分布列为（）X012Pm12n若()1EX，则（）A．14nB．1()2DXC．(21)4DXD．(21)3EX21．随机变量X服从以下概率分布：X1123P13ab16若1EX，则下列说法正确的有（）A．16aB．16bC．313EXD．73DX三、填空题22．已知随机变量X的分布列如下：X01234P0.10.20.4x0.1则13PX的值为．23．已知离散型随机变量X的分布列如下表：X0123P1311216若离散型随机变量21YX，则EY．24．离散型随机变量X的分布为：X01245Pq0.30.20.20.1若离散型随机变量Y满足21YX，则下列结果正确的为．①2EX；②4EY；③2.8DX；④14DY．25．从放有6黑3白共9颗珠子的袋子中抓3颗珠子，则白珠颗数的期望为.26．设随机变量的概率分布为2kaPk，a为常数，1k，2，3，4，则a．27．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示．设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X，则EX.28．已知随机变量X的分布列为X1234P0.20.30.1则27DX．29．已知随机变量X的分布列为X-1012P0.10.20.30.4则随机变量2YX的数学期望EY.四、解答题30．某一射手射击所得环数X的分布列如下：X45678910P0.020.050.060.08mm0.21(1)求m的值．(2)求此射手“射击一次命中的环数8”的概率．31．一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量X表示从该盒中取出的红球个数．(1)求随机变量X的分布列；(2)求随机变量X的期望和方差．32．每年9月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接2023年全国科普日,组织了科普知识竞答活动,要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答(每道题被选中的概率相等),设随机变量X表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数．(1)求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；(2)求随机变量X的分布列及方差DX．33．在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为12，12，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为112．(1)求p的值；(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列．34．某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选试题中一次性抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，至少正确完成其中2道试题则可以进入面试．已知考生甲能正确完成6道试题中的4道题，另外2道题不能完成．(1)求考生甲能通过笔试进入面试的概率；(2)记所抽取的三道题中考生甲能正确完成的题数为，求的分布列和数学期望．35．某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．36．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量、，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8、7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2．(1)求、的分布；(2)比较甲、乙的射击技术．37．某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A、B两名同学中产生，测试方案如下：A、B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率是34，