第5章　§5.3　平面向量的数量积 (67)

1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于()A．12B．122C．－122D．－122．(2023·三明模拟)已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于()A．5B．6C.41D．433．已知a，b为非零向量，且3|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，则a与b夹角的余弦值为()A.38B.316C.68D.6164．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为12b，则a·b的值为()A．3B.92C．2D.125．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P是BC的中点，则PA→·PD→等于()A．0B.3C．3D.926．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则AO→·AB→等于()A．8B.252C．83D．187．(2023·郑州模拟)在以OA为边，以OB为对角线的菱形OABC中，OA→＝(4,0)，OB→＝(6，a)，则∠AOC等于()A.π6B.π3C.5π6D.2π38．已知P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：甲：PA→＋PB→＋PC→＝0；乙：PA→·(PA→－PB→)＝PC→·(PA→－PB→)；丙：|PA→|＝|PB→|＝|PC→|；丁：PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→.如果只有一个等式不成立，则该等式为()A．甲B．乙C．丙D．丁9．已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为________．10．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为13，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________.11．(多选)(2022·佛山模拟)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4N，水平拉力F1的大小为3N，另一力F2未知，则()A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5NB．当F2与F1方向相反，且|F2|＝5N时，物体所受合力大小为0C．当物体所受合力为F1时，|F2|＝4ND．当|F2|＝2N时，3N≤|F1＋F2＋G|≤7N12．已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是()A．(－6，＋∞)B.－23，＋∞C.－6，23∪23，＋∞D.－6，－23∪－23，＋∞13．(多选)已知O为坐标原点，点A(1,0)，P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ)，P3(cos(α－β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是()A．|OP1—→|＝|OP2—→|B．|AP2—→|＝|P1P3—→|C.OA→·OP1—→＝OP2—→·OP3—→D.OA→·OP3—→＝OP1—→·OP2—→14．(2023·新乡模拟)在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是BC的中点，F是AB上一点，且AE→·DF→＝0，则BD→·EF→＝________.15.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝14(|AD→|2－|BC→|2)，我们称为极化恒等式．在△ABC中，M是BC中点，AM＝3，BC＝10，则AB→·AC→＝________.16．在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中OM→·ON→的值为________．