第09讲 二次函数与幂函数（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第09讲二次函数与幂函数（精讲）题型目录一览①幂函数的定义与图像②幂函数的性质和综合应用③二次函数单调性问题④二次函数最值问题⑤二次函数恒成立问题★【文末附录-幂函数及幂函数解题思路思维导图】1.幂函数的定义一般地，()ayxaR(a为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①ax的系数为1；②ax的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质3.常见的幂函数图像及性质：函数yx2yx3yx12yx1yx图象定义域RRR{|0}xx{|0}xx值域R{|0}yyR{|0}yy{|0}yy奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在R上单调递增在(0)，上单调递减，在(0+)，上单调递增在R上单调递增在[0+)，上单调递增在(0)，和(0+)，上单调递减一、知识点梳理公共点(11)，4．二次函数的图像二次函数2()(0)fxaxbxca的图像是一条抛物线，二次项系数a的正负决定图象的开口方向，对称轴方程为2bxa，顶点坐标为24(,)24bacbaa.【常用结论】1.幂函数()ayxaR在第一象限内图象的画法如下：①当0a时，其图象可类似1yx画出；②当01a时，其图象可类似12yx画出；③当1a时，其图象可类似2yx画出．2．实系数一元二次方程20(0)axbxca的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,xx212124000bacbxxacxxa（2）方程有两个不等负根12,xx212124000bacbxxacxxa（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,xx120cxxa题型一幂函数的定义与图像策略方法若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，二、题型分类精讲一般将其先化为根式，再判断．【典例1】已知幂函数fx满足(6)4(2)ff，则13f的值为（）A．2B．14C．14D．2【答案】B【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.【详解】依题意，设fxx，则(6)634(2)2ff，所以1111()()3334f.故选：B【题型训练】一、单选题1．现有下列函数：①3yx；②12xy；③24yx；④51yx；⑤21yx；⑥yx；⑦(1)xyaa，其中幂函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可【详解】幂函数满足ayx形式，故3yx，yx满足条件，共2个故选：B2．已知()fx为幂函数，且1(8)4f，则(4)f（）A．12B．3116C．314D．116【答案】B【分析】根据幂函数及1(8)4f求其解析式，进而求(4)f.【详解】因为()fx为幂函数，设()fxx，则318824f，所以23，可得23，则2331(4)416f.故选：B3．下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（）A．34yxB．12yxC．6yxD．25yx【答案】D【分析】利用分数指数式与根式的互化，结合具体函数的定义域的求法逐项分析即可求出结果.【详解】A3434yxx，则需要满足30x，即0x，所以函数34yx的定义域为0,，故A不符合题意；B121yxx，则需要满足0x，所以函数12yx的定义域为0,，故B不符合题意；C661xyx，则需要满足0x，所以函数6yx的定义域为,00,，故C不符合题意；D2525yxx，故函数25yx的定义域为R，故D正确；故选：D.4．已知幂函数()fxx的图像过点(8,4)，则()fxx的值域是（）A．,0B．,00,C．0,D．0,【答案】D【解析】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.【详解】幂函数()fxx的图像过点(8,4)，84，解得23，2332(0)fxxx，()fx的值域是0,.故选：D.5．函数fxx的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.【详解】因为()fxxfx，所以()fx为偶函数，排除A,B选项；易知当0x时，fxx为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.故选：C.6．下列函数中，其图像如图所示的函数为（）A．13yxB．23yxC．13yxD．23yx【答案】A【分析】根据函数的性质逐项分析即得．【详解】由图象可知函数为奇函数，定义域为,00,U，且在0,单调递减，对于A，1331yxx，定义域为,00,U，13fxxfx，所以函数为奇函数，在0,单调递减，故A正确；对于B，2323yxx，定义域为R，故B错误；对于C，133yxx，定义域为R，故C错误；对于D，23321yxx，定义域为,00,U，322311fxfxxx，函数为偶函数，故D错误.故选：A．7．如图所示是函数mnyx(*Nmn、且互质)的图象，则（）A．mn、是奇数且1mnB．m是偶数，n是奇数，且1mnC．m是偶数，n是奇数，且1mnD．mn、是偶数，且1mn【答案】C【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；【详解】解：函数=nmnmyxx的图象关于y轴对称，故n为奇数，m为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故1mn，故选：C.二、填空题8．函数12fxx的定义域为_______．【答案】0,【解析】将函数解析式变形为1fxx，即可求得原函数的定义域.【详解】121fxxx，所以，0x.因此，函数12fxx的定义域为0,.故答案为：0,.9．设集合1,2xAyyxR，集合12,0Byyxx，则AB________．【答案】0yy/0,【分析】根据指数函数与幂函数的性质，先求出集合A、B，然后根据交集的定义即可求解.【详解】解：因为集合1,02xAyyxyyR，12,00Byyxxyy，所以000AByyyyyy，故答案为：0yy.10．若函数ayx的图像经过点(2,16)与(3,)m，则m的值为____________．【答案】81【分析】根据函数图象过的点求得参数，可得函数解析式，再代入求值即得答案.【详解】由题意函数ayx的图像经过点(2,16)与(3,)m，则162,4，则4yx故4381m，故答案为：8111．幂函数Rafxxa满足：任意xR有fxfx，且122ff，请写出符合上述条件的一个函数fx___________．【答案】23x（答案不唯一）【分析】取23fxx，再验证奇偶性和函数值即可.【详解】取23fxx，则定义域为R，且2233fxxxfx，11f，233224f，满足122ff.故答案为：23x.12．已知函数3,,.xxafxxxa，若函数fx在R上不是增函数，则a的一个取值为___________.【答案】-2(答案不唯一，满足1a或01a即可)【分析】作出y=x和y=3x的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．【详解】y=x和y=3x的图象如图所示：∴当1a或01a时，y=3x有部分函数值比y=x的函数值小，故当1a或01a时，函数fx在R上不是增函数．故答案为：-2．题型二幂函数的性质和综合应用策略方法(1)紧扣幂函数yx的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，x为奇函数，为偶数时，x为偶函数.(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．【典例1】函数2223()1(03,)mmfxmmxmmZ同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有()()fxfx；②在(0,)上是减函数，则22f的值为（）A．8B．4C．2D．1【答案】B【分析】由m的值依次求出223mm的值，然后根据函数的性质确定m，得函数解析式，计算函数值．【详解】mZ，03m，0,1,2,3m，代入223mm分别是3,4,3,0，在定义域内()()fxfx，即()fx是偶函数，因此223mm取值4或0，2230mm时，()fx在(0,)上不是减函数，只有2234mm满足，此时1m，4()fxx，4422()()(2)422f．故选：B．【题型训练】一、单选题1．已知幂函数2133afxaax为偶函数，则实数a的值为（）A．3B．2C．1D．1或2【答案】C【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．【详解】幂函数2133afxaax为偶函数，2331aa，且1a为偶数，则实数1a，故选：C2．幂函数22mmyx03,mmZ的图象关于y轴对称，且在(0,)上是增函数，则m的值为（）A．0B．2C．3D．2和3【答案】D【分析】分别代入m的值，由幂函数性质判断函数增减性即可.【详解】因为03m，mZ，所以当0m时，2yx-=，由幂函数性质得，在(0,)上是减函数；所以当1m时，0yx，由幂函数性质得，在(0,)上是常函数；所以当2m时，4yx，由幂函数性质得，图象关于y轴对称,在(0,)上是增函数；所以当3m时，10yx，由幂函数性质得，图象关于y轴对称,在(0,)上是增函数；故选：D.3．已知a、bR，则“ab”是“33ab”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】C【分析】利用函数3()fxx在R上单调递增即可判断出结论.【详解】3,fxxxR是奇函数且为递增函数，所以ab，则()()fafb，即33ab，同理，33ab，则()()fafb，函数单调递增，得ab；“ab”是“33ab”的充要条件.故选：C.4．已知幂函数()()fxxR的图象经过点1,42，且(1)(3)faf，则a的取值范围为()A．(,2)B．(2,)C．(,4)(2,)D．(4,2)【答案】C【分析】首先根据已知条件求出()fx的解析式，再根据()fx的单调性和奇偶性求解即可.【详解】由题意可知，11()()422f，解得，2，故2()fxx，易知，()fx为偶函数且在(0,)上单调递减，又因为(1)(3)faf，所以|1|3a，解得，4a-或2a.故a的取值范围为(,4)(2,).故选：C.5．已知1.21.31.11.1,1.2,1.3abc，则（）A．cbaB．abcC．cabD．acb【答案】B【分析】利用中间值1.21.2比较a,b的大小，再让b，c与中间值1