第44讲 直线与双曲线（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第44讲直线与双曲线（精讲）题型目录一览①直线与双曲线的位置关系②双曲线的弦长问题③双曲线的中点弦问题1.点与双曲线的位置关系①00222200001,(,)1,(,)1,(,)xyxyxyabxy点在双曲线内（含焦点部分）点在双曲线上点在双曲线外②00222200001,(,)1,(,)1,(,)xyyxxyabxy点在双曲线内（含焦点部分）点在双曲线上点在双曲线外2.直线与双曲线的位置关系将直线的方程ykxm与双曲线的方程22221xyab(0,0)ab联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为222222222()20bakxamkxamab若2220,bak即bka，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220,bak即bka，①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．3.直线与双曲线的相交弦问题设直线ykxm交双曲线22221xyab(0,0)ab于点111222(,),(,),PxyPxy两点，则一、知识点梳理ACB4222121212||()()PPxxyy=212212212214)(11xxxxkxxkPPak21或212212212214)(1111yyyykyykPPak21技巧：①解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.4.双曲线的中点弦问题“设而不求”法解决中点弦问题：①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.注：①遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.②在双曲线22221xyab(0,0)ab中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率2020bxkay；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化.5.双曲线的第二定义平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.题型一直线与双曲线的位置关系策略方法直线与双曲线的位置关系联立直线与双曲线的方程，得到判别式Δ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．二、题型分类精讲【典例1】（单选题）若直线ykx与双曲线22194xy相交，则k的取值范围是A．20,3B．2,03C．22,33D．22,,33【题型训练】一、单选题1．（2023·上海·高二专题练习）过0,2P且与双曲线2221xy有且只有一个公共点的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条2．（2023·江苏·高二专题练习）已知双曲线C的方程为2214yx，点P，Q分别在双曲线的左支和右支上，则直线PQ的斜率的取值范围是（）A．2,2B．11,22C．,22,D．11,,223．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知两个点50M，，50N，，若直线上存在点P，使得6PMPN，则称该直线为“hold直线”.给出下列直线：①43yx，②21yx，③1yx，则这三条直线中有几条“hold直线”（）A．3B．2C．1D．04．（2023·高二课时练习）已知直线l的方程为1ykx，双曲线C的方程为221xy.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（）A．2,2B．1,2C．2,2D．1,25．（2023秋·山东聊城·高二校考期末）直线23yx与双曲线2222:1(0,0)xyCabab相交，有且只有1个交点，则双曲线C的离心率为（）A．5B．2C．52D．46．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）直线:(1)lykx与双曲线22:2Cxy没有公共点，则斜率k的取值范围是（）A．(,2)(2,)B．(2,2)C．,1(),)1(D．(1,1)7．（2023·北京顺义·校考模拟预测）若双曲线222210,0xyabab的一个顶点为A，过点A的直线330xy与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为()A．22B．42C．25D．2108．（2023秋·江西吉安·高二江西省安福中学校考期末）经过双曲线2213yx的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交双曲线于A，B两点，设O为坐标原点，则OAOB等于（）A．1B．1C．2D．29．（2023春·河南安阳·高三校联考阶段练习）已知直线22yx与双曲线2222:1(02,0)yxCabab有且仅有1个交点，则双曲线C的离心率为（）A．5B．5C．52D．5210．（2023秋·吉林·高二吉林市田家炳高级中学校考期末）已知双曲线22221xyab(0a，0b)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A．2,B．1,2C．2,D．1,211．（2023·四川·校联考一模）双曲线C：222210,0xyabab的离心率为52，直线10xny与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点1,0M满足MAMB，则n（）A．2或0B．－2C．3或0D．312．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知F是双曲线C：22221(0,0)xyabab的左焦点，0,6Pa，直线PF与双曲线C有且只有一个公共点，则双曲线C的离心率为（）A．2B．3C．2D．613．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知F为双曲线C：2213xy的左焦点，过F的一条直线l与双曲线C交于A，B两点，与双曲线C的渐近线交于D，E两点，若132ABDE，则直线l的斜率为（）A．36B．34C．53D．±214．（2023春·江西宜春·高二校联考阶段练习）已知点0,22,0,22MN，若在直线:0(0,0)lmxnymn上存在点A，使得26AMAN，则（）A．26mnB．26mnC．3mnD．3mn二、填空题15．（2023·山西·校联考模拟预测）已知双曲线22:1412xyC的右焦点为F，点(0,)Am，若直线AF与C只有一个交点，则m．16．（2023·全国·高二专题练习）直线(0)ykxk与双曲线22126xy没有交点，则k的取值范围为.17．（2023·福建厦门·统考模拟预测）写出同时满足下列条件的一条直线l的方程.①直线l在y轴上的截距为1；②直线l与双曲线2214xy只有一个公共点.18．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：2213xy，过右焦点F且与渐近线垂直的直线l交双曲线于M，N两点，则M，N两点的纵坐标之和为．19．（2023·四川宜宾·统考三模）已知双曲线C：222210,0xyabab的左，右焦点分别为1F，2F，离心率为233，过2F作渐近线byxa的垂线交C于A，B两点，点A在第一象限，若2332AF，则1ABF的周长为.20．（2023·全国·高三专题练习）过点(3,3)P作双曲线C：221xy的两条切线，切点分别为,AB，求直线AB的方程．21．（2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）已知双曲线22:104xyCnn（）的一条渐近线方程为40xny，若直线:2lykxk与C只有一个公共点，则实数k的值为三、解答题22．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知双曲线C：222210,0xyabab的焦距为4，且过点3,26.(1)求双曲线方程；(2)若直线:2lykx与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值.23．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）已知双曲线：C：22221xyab(0a，0b)与22142yx有相同的渐近线，且经过点2,2M.（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线0xym与双曲线C交于不同的两点A､B，且线段AB的中点在圆2220xy上，求实数m的值.24．（2023·浙江·二模）已知1F，2F分别为双曲线C：2218yx的左、右焦点，A是C上一点，线段2AF与C交于B点.(1)证明：2ABBF；(2)若1ABF的面积为8，求直线AB的斜率.25．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：222210,0yxabab，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为6,4.(1)求C的方程；(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，PMPN，MQQN均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.26．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，点2F到一条渐近线的距离为1，点0,Pb，且122cos3FPF.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线:lyxt与双曲线C交于,AB两点（异于点P），且直线,PAPB的斜率之和为65，求直线l的方程.27．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，12,0F，22,0F为双曲线C：222210,0xyabab的左右焦点，P为C的右支上一点，当PFx轴时，13OP．(1)求C的方程；(2)若P异于C的右顶点A，点Q在直线12x上，APOQ∥，M为AP的中点，直线OM与直线2QF的交点为N，求1NF的取值范围．28．（2023秋·浙江·高三期末）已知点4623,33A是双曲线22221(0,0)xyabab上一点，B与A关于原点对称，F是右焦点，2AFB．(1)求双曲线的方程；(2)已知圆心在y轴上的圆C经过点(4,0)P，与双曲线的右支交于点M，N，且直线MN经过F，求圆C的方程．29．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）已知,,ABC是双曲线2222:1(0,0)xyCabab上相异的三个点，点,AB关于原点对称，直线,BCAC的斜率乘积为2.(1)求双曲线C的离心率.(2)若双曲线C过点3,2，过圆222:Oxyb上一点00,Txy作圆O的切线l，直线l交双曲线C于,PQ两点，410OPOQ，求直线l的方程.题型二双曲线的弦长问题策略方法双曲线的弦长问题①解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.【典例1】（单选题）