第43讲 双曲线及其性质（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第43讲双曲线及其性质（精讲）题型目录一览①双曲线的定义及其应用②求双曲线的标准方程③双曲线的几何性质④双曲线的渐近线⑤双曲线的离心率一、双曲线的定义平面内与两个定点12,FF的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于12FF）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为12122(02)MMFMFaaFF．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支；（2）当122aFF时，点的轨迹是以1F和2F为端点的两条射线；当20a时，点的轨迹是线段12FF的垂直平分线；（3）122aFF时，点的轨迹不存在．注：①条件“122FFa”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a，2b的值），注意222abc的应用．二、双曲线的方程、图形及性质标准方程22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab图形一、知识点梳理A2焦点坐标1(,0)Fc，2(,0)Fc1(0,)Fc，2(0,)Fc对称性关于x，y轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标1(,0)Aa，2(,0)Aa1(0,)Aa，2(0,)Aa范围xaya实轴、虚轴实轴长为2a，虚轴长为2b离心率221(1)cbeeaa渐近线方程令22220xybyxaba，焦点到渐近线的距离为b令22220yxayxabb，焦点到渐近线的距离为b共焦点的双曲线方程2222221()xyakbakbk2222221()yxakbakbk共渐近线的双曲线方程2222(0)xyab2222(0)yxab通径通径（过焦点且垂直于12FF的弦）是同支中的最短弦，其长为22ba等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线ab离心率2e两渐近线互相垂直渐近线方程为yx方程可设为22(0)xy．【常用结论】1.双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为22ba．2.点与双曲线的位置关系对于双曲线22221(0)xyabab，点00()Pxy，在双曲线内部，等价于2200221xyab．点00()Pxy，在双曲线外部，等价于2200221xyab结合线性规划的知识点来分析．3.双曲线常考性质性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b；顶点到两条渐近线的距离为常数abc;性质2：双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222abc；4.焦点三角形双曲线焦点三角形面积为2tan2b（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）5.双曲线的切线点00()Mxy，在双曲线22221xyab(00)ab，上，过点M作双曲线的切线方程为00221xxyyab．若点00()Mxy，在双曲线22221xyab(00)ab，外，则点M对应切点弦方程为00221xxyyab题型一双曲线的定义及其应用策略方法双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)结合||PF1|－|PF2||＝2a，建立|PF1|与|PF2|的关系．【典例1】（单选题）已知双曲线22144xyC的左焦点为F，点P是双曲线C右支上的一点，点M是圆22:(22)1Exy上的一点，则PFPM的最小值为（）A．5B．522C．7D．8【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知点10,2F，20,2F，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（）A．123PFPFB．123PFPFC．124PFPFD．124PFPF2．（2023秋·江苏·高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习）设P是双曲线2211620xy上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（）A．1B．17C．1或17D．8二、题型分类精讲3．（2023·全国·高三专题练习）已知动点(,)Mxy满足2222(2)(2)4xyxy，则动点M的轨迹是（）A．射线B．直线C．椭圆D．双曲线的一支4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点15,0F，25,0F，动点Р满足218PFPF，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．抛物线C．双曲线D．双曲线的一支5．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC的顶点6,0A，6,0B，若ABC的内切圆圆心在直线3x上，则顶点C的轨迹方程是（）A．221927xyB．221279xyC．2213927xyxD．22133279xyx6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知点P在双曲线222210,0xyabab上，双曲线的左、右焦点分别记为1F，2F，已知12PFPF，122PFPF，O为坐标原点.则（）A．baB．2baC．5baD．2ba7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知1F，2F是双曲线22:1169xyC的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线16:5lx的距离为d，则1MFd的最小值为（）A．7B．395C．8D．4158．（2023·全国·高三专题练习）设1F，2F是双曲线221412xy的两个焦点，P是双曲线上的一点，且1235PFPF，则12PFF△的面积等于（）A．24B．152C．123D．309．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线222xy，点12,FF为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若1260FPF，则三角形12FPF的面积为（）A．2B．22C．3D．2310．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知双曲线22:14xCy的左焦点为F，过原点O的直线与C交于点A，B，若OFOA，则AFBF（）A．2B．4C．8D．1611．（2023·青海玉树·统考模拟预测）已知1F，2F为双曲线22:142xyC的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则212PFPF的最小值为（）A．16B．18C．842D．1529212．（2023·四川达州·统考二模）设1F，2F是双曲线C：22143xy的左、右焦点，过2F的直线与C的右支交于P，Q两点，则11||FPFQPQ（）A．5B．6C．8D．1213．（2023秋·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）已知双曲线22:142xy的左右焦点分别为12,FF，过1F的直线分别交双曲线的左右两支于,AB两点，且22FABFBA，则2BF（）A．54B．254C．25D．5二、填空题14．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2211648xy的左右两个焦点分别是12,FF，双曲线上一点P满足110PF，则2PF．15．（2023·高三课时练习）已知双曲线E：221916xy的左、右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线E上，且13PF，则2PF=.16．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知双曲线22:14xCy的左右焦点分别为1F，2F，过2F的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若1ABF的周长为20，则线段AB的长为．17．（2023·上海·高三专题练习）设12FF、为双曲线Γ:2221(0)9xyaa左、右焦点，且Γ的离心率为5，若点M在Γ的左支上，直线1FM与Γ的左支相交于另一点N，且2||MFMN，则1FN．18．（2023·北京·101中学校考三模）已知11,FF分别是双曲线222:109xyCaa的左右焦点，P是C上的一点，且12216PFPF，则12PFF△的周长是．19．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知F是双曲线221169xy的左焦点，4,4,AP是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为.20．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线x2y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则∣PF1∣+∣PF2∣的值为.21．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知曲线C：221194xmym，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C上，若m＝1时，ANBN的值为a，m＝－1时，ANBN的值为b，则ab的值为．题型二求双曲线的标准方程策略方法求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．【典例1】求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．(1)中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点坐标为4,0的等轴双曲线；(2)椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，且它的一个顶点坐标为0,23．【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的两个焦点分别为10,5F，20,5F，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（）A．29x－216y＝1B．216x－29y＝1C．29y－216x＝1D．216y－29x＝12．（2023·全国·高三专题练习）以12-3,0,3,0FF为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是（）A．2212xyB．2213xyC．2214xyD．2212yx3．（2023秋·四川成都·高三校考开学考试）若双曲线的渐近线方程为3yx，实轴长为22a，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（）A．2219yx或2219yxB．2219yxC．2219yxD．2219xy4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为2,0F，一条渐近线方程为3yx，则C的方程为（）A．2212yxB．2212xyC．2213xyD．2213yx5．（2023春·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）双曲线2222:1yxCab过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A．221xyB．2213yxC．221yxD．22124yx6．（2023·全国·高三专题练习）经过点3,27P和62,7Q的双曲线的标准方程是（）A．2217525yxB．2212575yxC．2212575xyD．2217525xy7．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：22221xyab的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（）A．162cmB．24cmC．32cmD．82cm8．（2023·河北·统考模拟预测）已知双曲线C：222210,0yxabab的上焦点为F，点M在C的一条渐近线上，MOF△是面积为3的等边三角形，其中点О为坐标原点，则C的方程为（）A．22139yxB．2213yxC．2213xyD．221412yx9．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab满足52ba，且与椭圆221123xy有公共焦点，则双曲线C的方