第42讲 直线与椭圆（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第42讲直线与椭圆（精讲）题型目录一览①点与椭圆的位置关系②直线与椭圆的位置关系③椭圆的弦长问题、面积问题④椭圆的中点弦问题一、点与椭圆的位置关系点和椭圆的关系2200002211(,)1xyxyab外点在椭圆上内2200002211(,)1yxxyab外点在椭圆上内二、直线和曲线联立1.椭圆22221(0)xyabab与直线:lykxm相交于AB两点，设11()Axy，，22()Bxy，22221xyabykxm，222222222()20bkaxakmxamab椭圆22221(00)xyabab，与过定点(0)m，的直线l相交于AB两点，设为xtym，如此消去x，保留y，构造的方程如下：22221xyabxtym，222222222()20atbybtmybmab注意：①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出0，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．②韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．一、知识点梳理三、直线与椭圆的位置关系设直线:0lAxByC，椭圆:(,)0Cfxy，把二者方程联立得到方程组，消去()yx得到一个关于()xy的方程220(0)axbxcaybyc.0方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；0方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；0方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.四、根的判别式和韦达定理22221(0)xyabab与ykxm联立，两边同时乘上22ab即可得到22222222()2()0akbxkmaxamb，为了方便叙述，将上式简记为20AxBxC．该式可以看成一个关于x的一元二次方程，判别式为2222224()abakbm可简单记2224()abAm．同理22221(0)xyabab和xtym联立222222222()20atbybtmybmab，为了方便叙述，将上式简记为20AyByC，2222224()abatbm，可简记2224()abAm．l与C相离0；l与C相切0；l与C相交0．注意：（1）由韦达定理写出12BxxA，12CxxA，注意隐含条件0．（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把2a，2b互换位置即可．五、弦长公式设11()Mxy，，22()Nxy，根据两点距离公式221212||()()MNxxyy．1.若MN、在直线ykxm上，代入化简，得212||1MNkxx；2.若MN、所在直线方程为xtym，代入化简，得212||1MNtyy3.构造直角三角形求解弦长，||MN2121|||||cos||sin|xxyy．其中k为直线MN斜率，为直线倾斜角．注意：（1）上述表达式中，当为0k，0m时，1mk；（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为20(0)AxBxCA，判别式为24BAC，0时，2121212()4xxxxxx224()4BCBACAAAA，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．六、已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程AB是椭圆22221.0xyabab的一条弦，中点00,Mxy，则AB的斜率为2020bxay，运用点差法求AB的斜率；设11,Axy，2212,Bxyxx，A，B都在椭圆上，所以22112222222211xyabxyab，两式相减得22221212220xxyyab所以12121212220xxxxyyyyab即22121202212120yybxxbxxxayyay，故2020ABbxkay题型一点与椭圆的位置关系策略方法点与椭圆的位置关系问题的一般思路点在椭圆外+1;点在椭圆内+1;点在椭圆上+=1.【典例1】（单选题）直线1ykx与椭圆2215xym总有公共点，则m的取值范围是（）A．1,B．0,11,C．1,55,D．0,11,5【答案】C【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果.【详解】直线1ykx过定点0,1，只需该点落在椭圆内或椭圆上，∴220115m，解得m1，又5m，故选：C．【题型训练】二、题型分类精讲一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）点(1,1)与椭圆22132xy的位置关系为（）A．在椭圆上B．在椭圆内C．在椭圆外D．不能确定【答案】B【解析】将点的坐标代入椭圆方程，根据不等关系可判断出点与椭圆的位置关系.【详解】1151326，可知点(1,1)在椭圆内．【分析】故选：B.2．（2023·江苏·高二专题练习）若点3,2在椭圆22221xyab上，则下列说法正确的是（）A．点3,2不在椭圆上B．点3,2不在椭圆上C．点3,2在椭圆上D．无法判断上述点与椭圆的关系【答案】C【分析】根据椭圆的对称性可判断.【详解】点3,2与点3,2关于原点对称，点3,2与3,2关于x轴对称，点3,2与3,2关于y轴对称，若点3,2在椭圆22221xyab上，根据椭圆的对称性，3,2，3,2，3,2三点都在椭圆上，故选：C3．（2023·江苏·高二专题练习）点,1Aa在椭圆22142xy的外部，则a的取值范围是（）A．2,2B．,22,C．2,2D．1,1【答案】B【分析】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果.【详解】因为点,1Aa在椭圆22142xy的外部，所以21142a,解得(2)(2)a，，,故选：B.4．（2023·全国·高三专题练习）若直线9mxny和圆229xy没有公共点，则过点,Pmn的直线与椭圆221109xy的交点个数是（）A．0B．1C．2D．不确定【答案】C【分析】通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点(,)mn在椭圆内，进而可得结论.【详解】因为直线9mxny和圆229xy没有交点，所以圆心0,0到直线90mxny的距离2293dmn，可得：229mn，即点(,)mn在圆229xy内，又因为圆229xy内切于椭圆221169xy，所以点 (),mn在椭圆221169xy内，即过点,mn的直线与椭圆221169xy有两个交点.故选：C.5．（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知(2,0)F为椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点，点(2,3)A为C内一点，若在C上存在一点P，使得10PAPF，则a的取值范围是（）A．(4,7]B．(5,7]C．15(5,2]D．15(4,2]【答案】D【分析】利用椭圆的定义，结合点A在椭圆内的条件，列出不等式组求解作答.【详解】依题意，224ab，设C的左焦点为F，则(2,0)F，因为10PAPF，且2PFPFa，则210PAaPF，即102PAPFa，于是1025aAF，解得51522a，而224ba，点(2,3)A为椭圆C内一点，即有22491ab，224914aa，整理得4217160aa，又2a，解得4a，所以a的取值范围是4a152.故选：D6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C关于x轴､y轴均对称，焦点在y轴上，且焦距为2(0)cc，若点6,2Acc不在椭圆C的外部，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．3,13B．30,3C．6,13D．60,3【答案】B【分析】设出椭圆方程，由于6,2Acc不在椭圆C的外部，得到2222614ccab，结合222bac，得到4261440ee，求出离心率的取值范围.【详解】设椭圆C的方程为222210yxabab，因为6,2Acc不在椭圆C的外部，所以2222614ccab，因为222bac，所以22222614ccaac，化简得：422461440caca，同除以4a得：4261440ee，结合0,1e，解得：2103e，故30,3e.故选：B7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22143xy，若椭圆上存在两点A、B关于直线4yxm对称，则m的取值范围是（）A．213213,1313B．1313,1313C．2,12D．20,2【答案】A【分析】设1122,,,AxyBxy，AB中点为00,Mxy，利用点差法结合条件可得点,3Mmm，根据,3Mmm在椭圆内部，进而即得．【详解】椭圆22143xy，即：2234120xy，设椭圆上两点1122,,,AxyBxy关于直线4yxm对称，AB中点为00,Mxy，则221134120xy，222234120xy，所以12121212340xxxxyyyy，∴01212031 44xyyxxy，∴003yx，代入直线方程4yxm得003xmym，，即,3Mmm，因为00,xy在椭圆内部，∴2234312mm，解得2132131313m＜＜，即m的取值范围是213213,1313．故选：A．题型二直线与椭圆的位置关系策略方法直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程．(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程．(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．【典例1】（单选题）已知直线l：yxm与椭圆C：22154xy有公共点，则m的取值范围是（）A．22,B．3,3C．,22,UD．,33,【答案】B【分析】联立直线与椭圆的方程，令判别式大于0求解即可.【详解】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得22154yxmxy，消去y得229105200xmxm①，因为直线l与椭圆C有公共点，所以方程①有实数根，则2210365200mm，得33m.故选：B．【题型训练】一、单选题1．（2023·四川南充·统考一模）已知直线20kxy与椭圆2219xym恒有公共点，则实数m的取值范围（）A．4,9B．4,C．4,99,D．9,【答案】C【分析】根据直线20kxy所过定点以及方程2219xym表示椭圆来求得m的取值范围.【详解】直线20kxy过定点0,2，所以20219m，解得4m①.由于方程2219xym表