考点巩固卷14 等差数列（九大考点）（解析版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】学科网（北京）股份有限公司1考点巩固卷14等差数列（九大考点）考点01基本量的计算1．在等差数列na中，11a，公差2d，89ma，则m等于（）A．92B．47C．46D．45【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式即可求解.【详解】因为11maamd，即12189m，所以46m.故选：C2．已知等差数列na的前n项为nS，416aa，420S．(1)求na的通项公式；资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】学科网（北京）股份有限公司2(2)若18kS，求k的值．【答案】(1)210nan(2)3或6【分析】（1）解：设等差数列na的公差为d，根据题意列出方程，求得18a，2d，即可求得数列na的通项公式；（2）由18kS，结合等差数列的求和公式，列出方程，即可求解.【详解】（1）解：设等差数列na的公差为d，因为416aa，可得4162413aad，又因为420S，可得14342202a，解得18a，所以1(1)8(1)2210naandnn，即数列na的通项公式为210nan.（2）解：由（1）知18a，2d，因为18kS，可得182182kkk，即29180kk，解得3k或6k.3．数列na中，11a，*12nnaanN，那么8a的值是（）A．14B．15C．15D．17【答案】B【分析】分析可知数列na为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得8a的值.【详解】由题意可知，对任意的nN，12nnaa，且11a，所以，数列na为等差数列，且该数列的首项为1，公差为2，因此，812711415aa.故选：B.4．已知数列na是等差数列，且23525,250aaa.(1)求na的通项公式；资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】学科网（北京）股份有限公司3(2)若数列na的前n项和为nS，求nS.【答案】(1)535nan(2)256522nSnn【分析】(1)由等差数列的概念计算基本量即可；(2)根据等差数列的求和公式计算即可.【详解】（1）设na的公差为d，则1112522450adadad，解得1305ad，所以11535naandn；（2）由（1）知130,5ad；得123053556556522222nnnaannnnSnn.5．设等差数列na前n项和为nS，若22a，648S，则等差数列na的公差为（）A．1B．2C．4D．8【答案】C【分析】根据已知列出方程组，求解即可得出答案.【详解】设公差为d，由已知可得，2161261548aadSad，解得124ad.故选：C.6．（多选）已知公差为d的等差数列na中，其前n项和为nS，且20a，42a，则（）A．1dB．2nanC．41012aaaD．23nSnn【答案】ABC【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和的性质，列方程求出公差，即可得数列通项,验证各选项是否正确.【详解】公差为d的等差数列na中，其前n项和为nS，且20a，42a资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】学科网（北京）股份有限公司4则4222aad，所以1d，A选项正确；222naandn，B选项正确；410122810aaa，C选项正确；11a，21322nnnaannS，D选项错误.故选：ABC考点02等差中项及等差数列项的性质7．在等差数列na中，45690aaa，则46aa的值为（）A．15B．30C．45D．60【答案】D【分析】利用等差中项的性质求出5a，再利用等差中项的性质可求得46aa的值.【详解】在等差数列na中，4565390aaaa，则530a，因此，465260aaa.故选：D.8．（多选）已知随机变量X的分布列如下表：X101Pabc若,,abc成等差数列，则公差d可以是（）A．14B．0C．12D．1【答案】AB【分析】根据等差数列性质可得13b，即可求出答案.【详解】因为,,abc成等差数列，所以2bac.又1abc，所以13b，又13ad，13cd，根据分布列的性质，得12033d，12033d，所以1133d.故选：AB.9．若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】学科网（北京）股份有限公司5板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（）A．3339块B．3402块C．3474块D．3699块【答案】B【分析】每层扇面形石板的块数成等差数列，设为{}na，再结合等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，即可求解．【详解】依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为na，其中12354aaa，252627702aaa，所以123252627127354702756aaaaaaaa，所以127252aa所以127272727252340222aaS，故圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）3402块.故选：B10．记nS为等差数列na的前n项和，若310mnaa，3218mnaa，则11nnSSnn______．【答案】2【分析】根据等差数列的性质和求和公式带入即可求解.【详解】由310mnaa①，3218mnaa②，②①得38dd，得4d，又12nnaanS，则12nnSaan，故1111111212222nnnnnnSSaaaaaadnn．故答案为：2资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】学科网（北京）股份有限公司611．等差数列na，nb的前n项和分别是nS与nT，且*31,1nnSnnTnN，则66ab___________；97ab______________.【答案】176/526267/537【分析】空1：根据等差数列的性质和求和公式，得到611611aSbT，代入即可求解；空2：设=31,1nnSknnTnnk，998aSS，776bTT，代入即可求出97ab.【详解】空1：由等差数列的前n项和公式，可得11()(),22nnnnnaanbbST，又由等差数列的性质，可得11111166,22aabbab，因为*31,N1nnSnnTn，可得611611311+13417=111126aSbT.空2：设=31,1,0nnSknnTnnkk，所以99892882552aSSkkk，776564214bTTkkk，所以975226147akbk.故答案为：176；267.12．等差数列na中，若9418,240,30nnSSa，则n的值为（）A．14B．15C．16D．17【答案】B【分析】先由918S得到52a，再利用542nnnaaS解出n即可.【详解】由等差数列下标和性质知：1952aaa，154nnaaaa，因为199599182aaSa，故52a，又15424022nnnnaanaaS，故2302402n，所以15n.故选：B.考点03由递推关系证明数列是等差数列13．（2023春·江苏连云港·高二统考期末）已知数列na的前n项和为11,1,12nnnSaaS.资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】学科网（北京）股份有限公司7(1)证明：数列nS是等差数列；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据11nnnaSS，变形得到211nnSS，从而得到11nnSS，得到答案；【详解】（1）因为11nnnaSS，112nnaS，112nnnSSS，即21211nnnnSSSS，11nnSS，即11nnSS，nS是1为首项，1为公差的等差数列.14．记nS为数列{}na的前n项和．(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列{}na是等差数列；①数列nSn是等差数列；②*12nnnaSnN【答案】(1)证明见解析【分析】（1）选择条件①，利用na与nS的关系式和等差中项的性质即可得证；选择条件②，设数列nSn的首项为1b，公差为p，求出nS，表示出na，即可得证.【详解】（1）选择条件①：*12nnnaSnN，112,211nnnnSnanSnan，两式相减可得11211nnnanana，即111nnnana，1211nnnana，两式相减可得12111nnnnnananana，化简可得122nnnnanaa，122nnnaaa，数列{}na是等差数列．选择条件②：设数列nSn的首项为1b，公差为p，则11(1)nSbnpnpbpn，故21nSpnbpn，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】学科网（北京）股份有限公司8当2n时，1nnnaSS221111pnbpnpnbpn121bnp，当1n时，111aSb，121nabnp，又11122(1)2nnaabnpbnpp．数列{}na是等差数列．15．已知数列na的前n项和为nS，1122nnnSa．(1)证明：12nna是等差数列；(2)求数列1nnaa的前n项积．【答案】(1)证明见解析(2)122nn【分析】（1）根据nS与na的关系化简，可得11122nnnnaa，由等差数列的定义得证；（2）由（1）求出na，再由累乘法求解.【详解】（1）由1122nnnSa，得11122nnnSa．所以111122nnnnnSSaa，即111122nnnnaaa，整理得122nnnaa，上式两边同时除以2n，得11122nnnnaa．又1122nnnSa，所以11112aa，即12a，所以12nna是首项为2，公差为1的等差数列．（2）由（1）知，121112nnann．所以112nnan．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】学科网（北京）股份有限公司9所以131112412321122222nnnnnnnnnnaaaaaaanaaaaaaa．16．已知数列na的前n项和为0nnSS，数列nS的前n项积为nT，且满足nnnnSTST*Nn．(1)求证：11nS为等差数列；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据所给递推公式及前n项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；【详解】（1）因为*NnnnnSTSTn，当1n时，21111112STSTaa，解得12a或10a，又0nS，所以10a，故12a，由nnnnSTST，可得1nS，所以1nnnSTS