重难点突破07 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类（七大题型）（原卷版）

重难点突破07圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类目录1、三角形的面积处理方法（1）12S△底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）（2）12S△水平宽·铅锤高12EDABxx或12AESCDyy△（3）在平面直角坐标系xOy中，已知OMN△的顶点分别为(00)O，，11()Mxy，，22()Nxy，，三角形的面积为122112Sxyxy．2、三角形面积比处理方法（1）对顶角模型1sin21sin2OACOBDOAOCSOAOCSOBODOBOD（2）等角、共角模型1sin21sin2OACOBDOAOCSOAOCSOBODOBOD3、四边形面积处理方法（1）对角线垂直12SACBD（2）一般四边形1sin2SACBD（3）分割两个三角形121()2SACdd4、面积的最值问题或者取值范围问题一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．题型一：三角形的面积问题之12S△底·高例1．（2023·福建漳州·高三统考开学考试）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为1(3,0)F，且过点13,2A.(1)求C的方程；(2)不过原点O的直线l与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.（i）求l的斜率；（ii）求OPQ△的面积的取值范围.例2．（2023·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点1(,0)2A，点B在直线1:2lx上运动，过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设点P是轨迹E上的动点，点,RN在y轴上，圆22:(1)1Cxy内切于PRN△，求PRN△的面积的最小值.例3．（2023·浙江·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点,Pxy满足2222(2)(2)2xyxy.(1)化简曲线C的方程；(2)已知圆22:1Oxy（O为坐标原点），直线l经过点,0(1)Amm且与圆O相切，过点A作直线l的垂线，交C于,MN两点，求OMN面积的最小值.变式1．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线22221(0,0)xyabab实轴的一个端点是P，虚轴的一个端点是Q，直线PQ与双曲线的一条渐近线的交点为11,22.(1)求双曲线的方程；(2)若直线1(01)ykxkk与曲线C有两个不同的交点,ABO、是坐标原点，求OAB的面积最小值.变式2．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆2222:1(0)xyEabab过点2,1M，且左焦点为12,0F.(1)求椭圆E的方程；(2)ABC内接于椭圆E，过点4,1P和点A的直线l与椭圆E的另一个交点为点D，与BC交于点Q，满足APQDAQPD，求ABC面积的最大值.题型二：三角形的面积问题之分割法例4．（2023·全国·高三专题练习）设动点M与定点,00Fcc的距离和M到定直线l：4xc的距离的比是2c．(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；(2)当2c时，记动点M的轨迹为，动直线m与抛物线：24yx相切，且与曲线交于点A，B．求AOB面积的最大值．例5．（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知椭圆C的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，离心率1e2，且过点3,2)P．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与椭圆交于AB，两点，且直线PAPB，的倾斜角互补，点0,8)M，求三角形MAB面积的最大值．例6．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线22221,(0,0)xyabab的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为3．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点P为双曲线右支上一动点，过点P与双曲线相切的直线l，直线l与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求FMN的面积的最小值．变式3．（2023·广东广州·高三中山大学附属中学校考阶段练习）过椭圆22143xy的右焦点F作两条相互垂直的弦AB，CD.AB，CD的中点分别为M，N.(1)证明：直线MN过定点；(2)若AB，CD的斜率均存在，求FMN面积的最大值.题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化例7．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线22:13yCx的左右焦点分别为1F、2F，若点P为双曲线C在第一象限上的一点，且满足128PFPF，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线PA、PB与渐近线的交点分别是A和B.（1）求四边形OAPB的面积；（2）若对于更一般的双曲线2222:10,0xyCabab，点P为双曲线C上任意一点，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线PA、PB与渐近线的交点分别是A和B.请问四边形OAPB的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用a、b表示该定值）；若不是定值，请说明理由.例8．（2023·浙江·高三竞赛）已知直线l与椭圆C：22221(0)xyabab交于A、B两点，直线AB不经过原点O.（1）求OAB面积的最大值；（2）设M为线段AB的中点，延长OM交椭圆C于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积.例9．（2023·全国·高三专题练习）12,FF分别是椭圆于2214xy的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求12PFPF的取值范围；(2)设2,0,0,1AB是它的两个顶点，直线(0)ykxk与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.变式4．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点（其中点A在第一象限），过点A作C的切线交x轴于点P，直线PB交C于另一点Q，直线QA交x轴于点T.(1)求证：AFATBFQT；(2)记AOP，AFT△，BQT△的面积分别为1S，2S，3S，当点A的横坐标大于2时，求321SSS的最小值及此时点A的坐标.变式5．（2023·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）设椭圆E：22221(0)xyabab的一个顶点为0,1A，离心率为22，F为椭圆E的右焦点．(1)求椭圆E的方程；(2)设过F且斜率为k的直线与椭圆E交于D，G两点，若满足ADAG，求k的值；(3)过点2,0P的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线l：xt的垂线（点B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记BMP，MNP△，CNP的面积分别为1S，2S，3S，试问：是否存在常数t，使得1S，212S，3S总成等比数列？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．变式6．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知圆22:316Cxy，点3,0G，圆周上任一点P，若线段PG的垂直平分线和CP相交于点Q，点Q的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)若过点1,0的动直线n与椭圆C相交于,MN两点，直线l的方程为4x.过点M作MTl^于点T，过点N作NRl于点R.记,,GTRGTMGRN!!!的面积分别为S，1S，2S.问是否存在实数，使得120SSS成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.变式7．（2023·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考开学考试）设抛物线：24yx的焦点为F，经过x轴正半轴上点,0Mm的直线l交于不同的两点A和B.(1)若3FA，求A点的坐标；(2)若2m，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；(3)若FAFM，且直线1//ll，1l与有且只有一个公共点E，问：OAE△的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.（三角形面积公式：在ABC中，设11,CAaxy，22,CBbxy，则ABC的面积为22212211122Sababxyxy变式8．（2023·四川眉山·高三校考阶段练习）在12PFF△中，已知点13,0F，23,0F，1PF边上的中线长与2PF边上的中线长之和为6；记12PFF△的重心G的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)若圆O：221xy，0,1E，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线l与圆O相交于点A，B，直线EA，EB与曲线C的另一个交点分别是点M，N，求EMN面积的最大值.题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型例10．（2023·河北·统考模拟预测）已知抛物线2:2(0)Cxpyp，过点(0,2)P的直线l与C交于,AB两点，当直线l与y轴垂直时，OAOB（其中O为坐标原点）.(1)求C的准线方程；(2)若点A在第一象限，直线l的倾斜角为锐角，过点A作C的切线与y轴交于点T，连接TB交C于另一点为D，直线AD与y轴交于点Q，求APQ△与ADT面积之比的最大值.例11．（2023·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知椭圆222222:1(0),xyEabcabab，且过(2,0),1,ca两点．(1)求椭圆E的方程和离心率e；(2)若经过(1,0)M有两条直线12,ll，它们的斜率互为倒数，1l与椭圆E交于A，B两点，2l与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是AB，CD的中点试探究：OPQ△与MPQ的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．例12．（2023·江苏徐州·高三校考开学考试）设椭圆22221(0)xyabab的左右顶点分别为12,AA，右焦点为F，已知123,1AFAF．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线2AP交y轴于点Q，若三角形1APQ的面积是三角形2AFP面积的二倍，求直线2AP的方程．变式9．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知定点(2,0)F，关于原点O对称的动点P，Q到定直线:4lx的距离分别为pd，Qd，且||||pQPFQFdd，记P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，并说明曲线C是什么曲线？(2)已知点M，N是直线1:2mxyk与曲线C的两个交点，M，N在x轴上的射影分别为1M，1N（1M，1N不同于原点O），且直线1MN与直线:4lx相交于点R，求RMN与11RMN△面积的比值.变式10．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C：220ypxp上一点,0Aaaa到焦点F的距离为52．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线l与抛物线C交于,PQ两点，直线,OPOQ与圆E：2224xy的另一交点分别为,,MNO为坐标原点，求OPQ△与OMN面积之比的最小值．变式11．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay的左、右顶点分别为,AB，长轴长为短轴长的2倍，点P在C上运动，且ABP面积的最大值为8．(1)求C的方程；(2)若直线l经过点1,0Q，交C于,MN两点，直线,AMBN分别交直线4x于D，E两点，试问ABD△与AQE的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．变式12．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知A，B分别是椭圆C：222210xy