重难点突破15 圆锥曲线中的圆问题（四大题型）（原卷版）

重难点突破15圆锥曲线中的圆问题目录1、曲线2222:1xyab的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆：2222xyab．2、双曲线22221(0)xyabab的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2x222yab．3、抛物线22ypx的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．4、证明四点共圆的方法：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为180，并且任何一个外角都等于它的内对角）．方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．题型一：蒙日圆问题例1．（2023·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．(1)已知动点P为圆222:Oxyr外一点，过P引圆O的两条切线PA、PB，A、B为切点，若0PAPB，求动点P的轨迹方程；(2)若动点Q为椭圆22:194xyM外一点，过Q引椭圆M的两条切线QC、QD，C、D为切点，若0QCQD，求出动点Q的轨迹方程；(3)在（2）问中若椭圆方程为22221(0)xyabab，其余条件都不变，那么动点Q的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．例2．（2022·全国·高三专题练习）在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.（1）已知动点P为圆O：222xyr外一点，过P引圆O的两条切线PA、PB，A、B为切点，若0PAPB，求动点P的轨迹方程；（2）若动点Q为椭圆M：22143xy外一点，过Q引椭圆M的两条切线QC、QD，C、D为切点，若0QCQD，猜想动点Q的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q的轨迹方程.例3．（2023·河南·校联考模拟预测）在椭圆C：22221xyab（0ab）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：2222xyab上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过()21,2P，61(,)22Q.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的蒙日圆上一点M，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若OMk，ONk存在，证明：OMONkk为定值.变式1．（2023秋·浙江宁波·高三期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆2222:1(0)xyCabab中，离心率12e，左、右焦点分别是1F、2F，上顶点为Q，且22QF，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为12，求POH△面积的最大值.变式2．（2023·吉林白山·统考二模）法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线22xa-22yb=1（ab0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C：22xa-22yb=1（ab0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x2+y2=1．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．变式3．（2022秋·江苏盐城·高三校联考阶段练习）定义椭圆22221(0)xyCabab：的“蒙日圆”的方程为2222xyab，已知椭圆C的长轴长为4，离心率为12e.(1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆C的一条切线MA，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点D，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为12,kk，证明：12kk为定值.变式4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点分别为13,0F、23,0F，离心率为33．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点00,Pxy为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程；(3)若过椭圆C上任意一点Q的切线与（2）中所求点P的轨迹方程交于A、B两点，求证：12QAQBQFQF．变式5．（2019·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆C：222210xyabab的一个焦点为17,0F,离心率为74.（1）求C的标准方程；（2）若动点M为C外一点,且M到C的两条切线相互垂直,求M的轨迹D的方程；（3）设C的另一个焦点为2F,过C上一点P的切线与（2）所求轨迹D交于点A,B,求证：12PAPBPFPF.变式6．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，垂直x轴的直线与椭圆相交于A、B两点，当FAB的周长取最大值43时，23||3AB．(1)求椭圆C的方程；(2)过圆22:4Dxy上任意一点P作椭圆C的两条切线m、n，直线m、n与圆D的另一交点分别为M、N,①证明：mn；②求MNP△面积的最大值．题型二：内圆与外圆问题例4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)xyabab及圆222:Oxya，过点(0,)Ba与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若60AOB，求椭圆的离心率．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)xyCabab和圆222:Oxya，1(1,0)F，2(1,0)F分别是椭圆的左、右两焦点，过1F且倾斜角为π0,2的动直线l交椭圆C于A，B两点，交圆O于P，Q两点（如图所示，点A在x轴上方）．当π4时，弦PQ的长为14．(1)求圆O与椭圆C的方程；(2)若222||||||BFAFAB，求直线PQ的方程．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)xyCabab和圆22212:(1,0),(1,0),OxyaFF分别是椭圆的左、右两焦点，过1F且倾斜角为π0,2的动直线l交椭圆C于,AB两点，交圆O于,PQ两点（如图所示），当π4时，弦PQ的长为14．（1）求圆O和椭圆C的方程（2）若点M是圆O上一点，求当22,,AFBFAB成等差数列时，MPQ面积的最大值．变式7．（2017·上海嘉定·统考二模）如图，已知椭圆2222:1xyCab(0)ab过点31,2两个焦点为1(1,0)F和2(1,0)F.圆O的方程为222xya.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过1F且斜率为(0)kk的动直线l与椭圆C交于A、B两点，与圆O交于P、Q两点（点A、P在x轴上方），当2,AF2,BF||AB成等差数列时，求弦PQ的长.变式8．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab和圆222:Oxyb（其中圆心O为原点），过椭圆C上异于上、下顶点的一点00,Pxy引圆O的两条切线，切点分别为,AB．(1)求直线AB的方程；(2)求三角形OAB面积的最大值．变式9．（2022·全国·高三专题练习）如图，椭圆2222:1(0)xyCabab和圆222:Oxyb，已知椭圆C的离心率为223，直线2260xy与圆O相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C的上顶点为B，EF是圆O的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE、BF与椭圆C的另一个交点分别为P、Q，求BPQ的面积的最大值及此时PQ所在的直线方程．变式10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)xyabab和圆222:Oxyb，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为,AB．（Ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；（Ⅱ）设直线AB与x、y轴分别交于点,MN，问当点P在椭圆上运动时，2222abONOM是否为定值？请证明你的结论．题型三：直径为圆问题例7．（2023秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过点22233P，，左，右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，且124PFPF．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点，以MN为直径的圆过点A，求AMAN的最大值．例8．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知椭圆2222:10xyCabab过31,2和62,2两点.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线4x上运动时，直线AM，BM分别交椭圆于两点P和Q.（i）证明：点B在以PQ为直径的圆内；（ii）求四边形APBQ面积的最大值.例9．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆22122:10xyCabab的离心率为22，且直线yxb是抛物线22:4Cyx的一条切线．(1)求椭圆1C的方程；(2)过点10,3S的动直线L交椭圆1C于,AB两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．变式11．（2023秋·福建福州·高三闽侯县第一中学校考阶段练习）已知椭圆2222:10xyEabab的离心率是22，上、下顶点分别为A，B.圆22:2Oxy与x轴正半轴的交点为P，且1PAPB.(1)求E的方程；(2)直线l与圆O相切且与E相交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过定点.变式12．（2023秋·广东广州·高三广州市第六十五中学校考阶段练习）已知椭圆:C222210xyabab的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为1,0F，O为坐标原点，线段OA的中点为D，且BDDF．(1)求C方程；(2)已知点M、N均在直线2x上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM、AN分别交椭圆C于另一点P、Q，证明直线PQ与直线OT垂直．变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，A，B分别是C的右、上顶点，且7AB，D是C上一点，2BFD△周长的最大值为8.(1)求C的方程；(2)C的弦DE过1F，直线AE，AD分别交直线4x于M，N两点，P是线段MN的中点，证明：以PD为直径的圆过定点.变式14．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系中，已知12,FF分别为椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点.M为椭圆C上的一个动点，12FMF的最大值为120，且点M到右焦点2F距离的最小值为23，直线l交椭圆C于异于椭圆右顶点A的两个点1122,,,PxyQxy.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若以PQ为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并求此定点的坐标.变式15．（2023秋·重庆·高三统考开学考试）已知1F、2F是椭圆22:2210xyCab