第03讲 直线、平面平行的判定与性质（八大题型）（讲义）（学生版）

1第03讲直线、平面平行的判定与性质目录2考点要求考题统计考情分析（1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．（2）掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．2022年甲卷（文）第19题，12分2022年乙卷（文）第9题，5分2021年浙江卷第6题，4分本节内容是高考中的热点，线线、线面、面面平行与证明通常出现在解答题的第一问．本节内容将空间中平行的判定与性质综合在一起复习，通常在高考题目中，虽然证明的结论是平行，但是过程中经常交叉使用空间直线、平面平行的判定定理或性质，因此题目的综合性增强．知识点一：直线和平面平行1、定义直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面平行，记作l∥2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥线线∥面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行11lllll∥∥3面∥面线∥面如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面aa∥∥3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥面线∥线如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行lllll∥∥知识点二：两个平面平行1、定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理线∥面面∥面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行,,ababPab∥，∥∥线面面∥面如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行ll∥3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言面//面线//面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面////aa4性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）////.aabb面//面线面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线//ll【解题方法总结】线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线a与平面没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面．（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；题型一：平行的判定例1．（2023·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）若、是两个不重合的平面，①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则//；②设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则；性质性质性质判定判定判定线∥面线∥线面∥面5③若外一条直线l与内的一条直线平行，则//l；以上说法中成立的有（）个．A．0B．1C．2D．3例2．（2023·全国·高三对口高考）过直线l外两点作与l平行的平面，那么这样的平面（）A．不存在B．只有一个C．有无数个D．不能确定例3．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线//MN平面ABC的是（）A．B．C．D．变式1．（2023·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：①ac∥，bc∥，则ab∥；②若a∥，b∥，则ab∥；③c∥，c∥，则∥；④若∥，∥，则∥；⑤若c∥，ac∥，则aP；⑥若a∥，∥，则aP．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1变式2．（2023·全国·高三专题练习）设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（）A．内有无数条直线与平行B．，垂直于同一个平面C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一条直线【解题方法总结】排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除．题型二：线面平行构造之三角形中位线法6例4．（2023·广东河源·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥PABCD中，,EF分别为,PDPB的中点，连接EF．（1）当G为PC上不与点,PC重合的一点时，证明：//EF平面BDG；例5．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11ACCA是矩形，ACAB，12,(2)ABAAACtt，1120AAB,EF分别为棱11,ABBC的中点，G为线段CF的中点．（1）证明：1//AG平面AEF．（2）若三棱锥AGEF的体积为1，求t．例6．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图所示，在正四棱锥PABCD中，底面ABCD的中心为O，PD边上的垂线BE交线段PO于点F，2PFFO．7（1）证明：EO//平面PBC；变式3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD为梯形，//ABCD，ADAB，24ABAPDC，242PBAD，26PD，M，N分别是PD，PB的中点．（1）求证：直线//MN平面ABCD；变式4．（2023·陕西汉中·高三统考期末）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA平面ABC，且12AAABBCAC，点E是棱AB的中点．（1）求证：1//BC平面1ACE；（2）求三棱锥11EACC的体积．8变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是正方形，1PDAD，PD平面ABCD，点E是棱PC的中点，点F是棱PB上的一点，且EFPB．（1）求证：//PA平面EDB；（2）求点F到平面EDB的距离．变式6．（2023·新疆昌吉·高三校考学业考试）如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是棱1DD的中点．（1）证明：1//BD平面AEC；（2）若正方体棱长为2，求三棱锥DAEC的体积．【解题方法总结】（1）初学者可以拿一把直尺放在PB位置（与PB平齐），如图一；（2）然后把直尺平行往平面ACE方向移动，直到直尺第一次落在平面ACE内停止，如图二；（3）此时刚好经过点E（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点E），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与AC相交于点F，连接EF，如图三；9（4）此时PBEF、长度有长有短，连接PBEF、并延长刚好交于一点D，刚好构成A型模型（E为PD中点，则F也为BD中点，若E为等分点，则F也为BD对应等分点），PBEF∥，如图四．图一图二图三图四题型三：线面平行构造之平行四边形法例7．（2023·天津滨海新·高三校考期中）如图，四棱锥PABCD的底面是菱形，平面PAD底面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，6AB，5DPAP，60BAD．（1）求证：//EF平面PAD；例8．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱台ABCDEFGH的底面是菱形，且π3BAD，DH平面ABCD，2EH，3DH，4AD．（1）求证：//AE平面BDG；（2）求三棱锥FBDG的体积．1234012340BCADPPDACBEEFPDACBBCADPEFEFFBCADPE10例9．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正三棱柱111ABCABC-中，1,,DDF分别是BC，11BC，11AB的中点，4BCBE，ABC的边长为2．（1）求证：：//EF平面11ADDA；变式7．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA底面ABC，5ABAC，2BC，12AA，D、E分别为棱BC、11AB的中点，12APPB，12CQQE．（1）求证：//PQ平面1CAD；变式8．（2023·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）如图所示，在四棱锥PABCD中，BC平面PAD，12BCAD，E是PD的中点．11（1）求证：BCAD∥；（2）求证：CE平面PAB；（3）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN平面PAB？说明理由．【解题方法总结】（1）初学者可以拿一把直尺放在EF位置，如图一；（2）然后把直尺平行往平面PAB方向移动，直到直尺第一次落在平面PAB内停止，如图二；（3）此时刚好经过点B（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点B），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与PA相交于点O，连接BO，如图三；（4）此时PBEF、长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接OE，刚好构成平行四边形BFEO型模型（E为PD中点，O也为PA中点，OE为三角形PAD中位线），OBEF∥，如图四．图一图二图三图四题型四：线面平行转化为面面平行例10．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点．1234012340BCADPPDACBBCADPPDACBEFEFOEFOEFO12（1）求证：//PE平面BFG；（2）若2AB，求点C到平面BFG的距离．例11．（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDMP中，四边形ABCD是菱形，且有60DAB，1ABDM，2PB，PB平面ABCD，PBDM∥．（1）求证：//AM平面PBC；例12．（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11AACC是矩形，侧面11BBCC是菱形，160BBC，D、E分别为棱AB、11BC的中点，F为线段1CE的中点．（1）证明：//AF平面1ADE；13变式9．（2023·上海·模拟预测）直四棱柱1111ABCDABCD，ABDC，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4（1）求证：11//ABDCCD面；变式10．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考开学考试）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角ACDF的大小为45，//DECF，CDDE，2AD，3DC．（1）求证：//BF平面ADE；变式11．（2023·全国·高三对口高考）已知正方形ABCD和正方形ABEF，如图所示，N、M分别是对角线AE、BD上的点，且ENBMANMD．求证：//MN平面EBC．14【解题方法总结】本法原理：已知平面∥平面，则平面里的任意直线均与平面平行题型五：利用线面平行的性质证明线线平行例13．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知四棱锥PABCD，底面为菱形,ABCDPD平面ABCD，2,,3PDADCDBADE为PC上一点．（1）平面PAD平面PBCl，证明：BCl∥；例14．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PD平面ABCD，2PDADCD，π3BAD，E为PC上一点．15（1）平面PAD平面PBCl，证明：//BCl．（2）当直线BE与平面BCD的夹角为π6时，求三棱锥PBDE的体积．例15．（2023·重庆万州·统考模拟预测）如图1所示，在四边形ABCD中，BCCD，E为B