第05讲 空间向量及其应用（练习）（学生版）

1第05讲空间向量及其应用（模拟精练+真题演练）1．（2023·内蒙古乌兰察布·校考三模）正方体111ABCDABCD中，E，F分别是1,DDBD的中点，则直线1AD与EF所成角的余弦值是（）A．12B．63C．32D．622．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知向量2,1,31,1,abx，，若a与b垂直，则2ab（）.A．2B．52C．213D．263．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）定义两个向量u与v的向量积是uv一个向量，它的模sin,uvuvuv，它的方向与u和v同时垂直，且以uvuv，，的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体ABCD中，则ABADAC（）A．23B．4.C．43D．424．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PAD是正三角形，2AB，平面PAD平面ABCD，则PC与BD所成角的余弦值为（）A．14B．24C．13D．335．（2023·云南保山·统考二模）已知正方体1111ABCDABCD，Q为上底面1111DCBA所在平面内的动点，当直线DQ与1DA的所成角为45°时，点Q的轨迹为（）A．圆B．直线C．抛物线D．椭圆6．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线l的方程为1xyz，空间一点(1,1,1)P，2则点P到直线l的距离为（）A．22B．1C．33D．637．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（）A．26B．14C．36D．248．（2023·江西·校联考模拟预测）在空间直角坐标系中，已知22,2,6,0,0,1,1,1,2,1,0,3,,0,5AaaBCDEa，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平面BCD所成角的正弦值为（）A．24221B．147C．43535D．479．（多选题）（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知空间单位向量PA，PB，PC两两夹角均为60，2PAPE，2BCBF，则下列说法中正确的是（）A．P、A、B、C四点可以共面B．12PABCACC．22EFD．3cos,6AFCP10．（多选题）（2023·海南海口·校考模拟预测）在长方体1111ABCDABCD，11,2ABADAA，P是线段1CD上（含端点）的一动点，则下列说法正确的是（）A．该长方体外接球表面积为4B．三棱锥11BABP的体积为定值C．当11ACCP时，13PCPDD．1PAPB的最大值为1311．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABCABC-中，,DE分别是11,CCBB的中点，设111AFAC，0,1，则（）A．当12时，CFADB．0,1，使得CF平面ABDC．0,1，使得//EF平面ABDD．当13时，AF与平面ABD所成角为6012．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，Q是棱1DD上的动点，则下列说法正确的是（）A．不存在点Q，使得11//CQACB．存在点Q，使得11CQACC．对于任意点Q，Q到1AC的距离的取值范围为26,23D．对于任意点Q，1ACQ△都是钝角三角形13．（2023·河北·统考模拟预测）点M、N分别是正四面体ABCD棱BC、AD的中点，则cos,AMCN．14．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）在空间直角坐标系中，一四面体的四个顶点坐标分别为1,2,3,4,1,5,2,3,4,6,6,1，则其体积为．15．（2023·北京大兴·校考三模）如图，在正方体1111ABCDABCD，中，M，N分别为线段11AD，1BC上的动点.给出下列四个结论:4①存在点M，存在点N，满足MN∥平面11ABBA；②任意点M，存在点N，满足MN∥平面11ABBA；③任意点M，存在点N，满足1MNBC；④任意点N，存在点M，满足1MNBC.其中所有正确结论的序号是.16．（2023·全国·模拟预测）已知长方体1111ABCDABCD中，1ABBCBB，点M是线段1CC上靠近点C的三等分点，记直线11,ABAD的夹角为1，直线1,ABBD的夹角为2，直线,AMBD的夹角为3，则123、、之间的大小关系为．（横线上按照从小到大的顺序进行书写）17．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，BDPC，四边形ABCD是菱形，60ABC，1ABPA，2PB，E是棱PD上的中点.(1)求三棱锥CBDE的体积；(2)求平面PAB与平面ACE夹角的余弦值.18．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台ABCDEF中，G为AC中点，2ACDF，ABBC，BCCF．5(1)求证：BC平面DEG；(2)若2ABBC，CFAB，平面EFG与平面ACFD所成二面角大小为π3，求三棱锥EDFG的体积．19．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ACBDO，且PO平面ABCD，2PO，F，G分别是PB，PD的中点，E是PA上一点，且3APAE.(1)求证：//BD平面EFG；(2)若2π3DAB，求直线PA与平面EFG所成角的余弦值.20．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）如图，在正四棱台1111ABCDABCD中，112ABAB，13AA，M，N为棱11BC，11CD的中点，棱AB上存在一点E，使得1//AE平面BMND．6(1)求AEAB；(2)当正四棱台1111ABCDABCD的体积最大时，求1BB与平面BMND所成角的正弦值．21．（2023·山东潍坊·三模）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，ABD△为底面圆O的内接正三角形，且边长为3，点E在母线PC上，且3,1AECE.(1)求证：直线//PO平面BDE；(2)求证：平面BED平面ABD；(3)若点M为线段PO上的动点．当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面ABE的距离.1．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，2AB，14AA．点2A，2B，2C，2D分别在棱1AA，1BB，1CC，1DD上，21AA，222BBDD，23CC．（1）证明：2222//BCAD；7（2）点P在棱1BB上，当二面角222PACD为150时，求2BP．2．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥ABCD中，DADBDC，BDCD，60ADBADC，E为BC中点．（1）证明BCDA；（2）点F满足EFDA，求二面角DABF的正弦值．3．（2023•北京）如图，四面体PABC中，1PAABBC，3PC，PA平面ABC．（Ⅰ）求证：BC平面PAB；（Ⅱ）求二面角APCB的大小．84．（2022•新高考Ⅱ）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E为PB的中点．（1）证明：//OE平面PAC；（2）若30ABOCBO，3PO，5PA，求二面角CAEB的正弦值．5．（2022•北京）如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11BCCB为正方形，平面11BCCB平面11ABBA，2ABBC，M，N分别为11AB，AC的中点．（Ⅰ）求证：//MN平面11BCCB；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：ABMN；条件②：BMMN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．96．（2022•浙江）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，//ABDC，//DCEF，5AB，3DC，1EF，60BADCDE，二面角FDCB的平面角为60．设M，N分别为AE，BC的中点．（Ⅰ）证明：FNAD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．7．（2022•甲卷）在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，//CDAB，1ADDCCB，2AB，3DP．（1）证明：BDPA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．108．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱111ABCABC的体积为4，△1ABC的面积为22．（1）求A到平面1ABC的距离；（2）设D为1AC的中点，1AAAB，平面1ABC平面11ABBA，求二面角ABDC的正弦值．9．（2022•天津）直三棱柱111ABCABC中，12AAABAC，1AAAB，ACAB，D为11AB中点，E为1AA中点，F为CD中点．（1）求证：//EF平面ABC；（2）求直线BE与平面1CCD的正弦值；（3）求平面1ACD与平面1CCD夹角的余弦值．1110．（2021•甲卷）已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点，11BFAB．（1）证明：BFDE；（2）当1BD为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小？11．（2023•乙卷）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，2AB，22BC，6PBPC，5ADDO，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BFAO．（1）证明：//EF平面ADO；（2）证明：平面ADO平面BEF；（3）求二面角DAOC的正弦值．12