重难点突破01 玩转外接球、内切球、棱切球（二十三大题型）（学生版）

1重难点突破01玩转外接球、内切球、棱切球目录知识点一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．2（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体PABC可以补形为正方体且正方体的棱长2PAa，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4知识点二：正四面体外接球如图，设正四面体ABCD的的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为22a，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为236224Raa，即正四面体外接球半径为64Ra．知识点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD中，ABCDm，ACBDn，ADBCt，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为,,abc，则222222222bcmacnabt，三式相加可得222abc222,2mnt而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则22224abcR，所以2228mntR．知识点四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）3图1图2图3第一步：确定球心O的位置，1O是ABC的外心，则1OO平面ABC；第二步：算出小圆1O的半径1AOr，111122OOAAh（1AAh也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：22211OAOAOO222()2hRr22()2hRr，解出R知识点五：直棱锥外接球如图，PA平面ABC，求外接球半径．解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：1O为ABC的外心，所以1OO平面ABC，算出小圆1O的半径1ODr(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得2sinsinsinabcrABC)，112OOPA；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222(2)(2)RPAr222(2)RPAr；②2221RrOO221RrOO．知识点六：正棱锥与侧棱相等模型1、正棱锥外接球半径：222rhRh．图3-1C1B1AEFA1O1OO2BC图3-2C1B1AA1O1OO2BC图3-3C1B1AEFA1O1OO2BC图5ADPO1OCB42、侧棱相等模型：如图，P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,,POO三点共线；第二步：先算出小圆1O的半径1AOr，再算出棱锥的高1POh（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：22211OAOAOO222()RhRr，解出222rhRh．知识点七：侧棱为外接球直径模型方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．知识点八：共斜边拼接模型如图，在四面体ABCD中，ABAD，CBCD，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，BD为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点O为公共斜边BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，OAOCOBOD，即点O到A，B，C，D四点的距离相等，故点O就是四面体ABCD外接球的球心，公共的斜边BD就是外接球的一条直径．hlrDCBA图5-1PAO1OCB5知识点九：垂面模型如图1所示为四面体PABC，已知平面PAB平面ABC，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB和△ABC的外接圆圆心，分别记为1O和2O．（2）分别过1O和2O作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．（3）过1O作AB的垂线，垂足记为D，连接2OD，则2ODAB．（4）在四棱锥12ADOOO中，AD垂直于平面12DOOO，如图2所示，底面四边形12DOOO的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．图1图2知识点十：最值模型这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等知识点十一：二面角模型如图1所示为四面体PABC，已知二面角PABC大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB和△ABC的外接圆圆心，分别记为1O和2O．（2）分别过1O和2O作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．（3）过1O作AB的垂线，垂足记为D，连接2OD，则2ODAB．（4）在四棱锥12ADOOO中，AD垂直于平面12DOOO，如图2所示，底面四边形12DOOO的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．6知识点十二：坐标法对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为(,,)Oxyz，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．知识点十三：圆锥圆柱圆台模型1、球内接圆锥如图1，设圆锥的高为h，底面圆半径为r，球的半径为R．通常在△OCB中，由勾股定理建立方程来计算R．如图2，当PCCB时，球心在圆锥内部；如图3，当PCCB时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图2、图3可知，OChR或Rh，故222()hRrR，所以222hrRh．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为r，高为h，其外接球的半径为R，三者之间满足22()2hrR．3、球内接圆台72222222122rrhRrh，其中12,,rrh分别为圆台的上底面、下底面、高．知识点十四：锥体内切球方法：等体积法，即3体积表面积VRS知识点十五：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形题型一：外接球之正方体、长方体模型例1．（2023·云南昆明·高一校考期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为例2．（2023·吉林·高一校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为3，则球的表面积为．例3．（2023·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球O表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4则球O的表面积是变式1．（2023·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）长方体1111ABCDABCD的外接球的表面积为25，3AB，6AD，则长方体1111ABCDABCD的体积为.变式2．（2023·天津静海·高一校考期中）在长方体1111ABCDABCD中，6AB，23BC，14BB，则长方体外接球的表面积为．题型二：外接球之正四面体模型例4．（2023·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为23，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为．例5．（2023·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是．例6．（2023·全国·高三专题练习）棱长为2的正四面体的外接球体积为.变式3．（2023·全国·高一假期作业）正四面体PBDE和边长为1的正方体1111ABCDABCD有公共顶点B，8D，则该正四面体PBDE的外接球的体积为.变式4．（2023·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）正四面体PABC中，其侧面积与底面积之差为23，则该正四面体外接球的体积为.题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型例7．（2023·高一单元测试）在四面体ABCD中，若3ABCD，2ACBD，5ADBC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．2B．4C．6D．8例8．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，25ABCD，29ACBD，41ADBC，则四面体ABCD外接球的体积为（）A．45πB．155π2C．455π2D．245π例9．（2023·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥SABC中，5SABC，41SBAC，34SCAB，则该三棱锥的外接球表面积是（）A．50πB．100πC．150πD．200π变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥PABC中，3PABC，2PBAC，5PCAB，则三棱锥PABC外接球的体积为（）A．2B．3C．6D．6题型四：外接球之直棱柱模型例10．（2023·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．9例11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱111ABCABC-的所有顶点都在一个表面积是40的球面上，且1,120ABACAABAC，则此直三棱柱的表面积是（）A．1683B．8123C．8163D．16123例12．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABCABC-中，ABC为等腰直角三角形，若三棱柱111ABCABC-的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）A．12πB．24πC．48πD．96π变式6．（2023·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知正三棱柱111ABCABC-的体积为33，则其外接球表面积的最小值为（）A．12πB．6πC．16πD．8π变式7．（2023·全国·高三专题练习）在三棱柱111ABCABC-中，已知11,90BCABBCC，AB侧面11BBCC，且直线1CB与底面ABC所成角的正弦值为255,则此三棱柱的外接球的表面积为（）A．3B．4C．5D．6变式8．（2023·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱111ABCABC-所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（）A．48πB．60πC．64πD．84π题型五：外接球之直棱锥模型例13．（2023·安徽宣城·高一统考期末）在三棱锥PABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且4PA，则三棱锥PABC的外接球表面积为．例14．（2023·江苏南京·高二统考期末）在三棱锥PABC中，PA面ABC，ABC为等边三角形，且3PAAB，则三棱锥PABC的外接球的表面积为．例15．（2023·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知三棱锥PABC，其中PA平面10,120,2ABCBACPAABAC，则三棱锥PABC外接球的表面积为.变式9．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在三棱锥DABC中，ABC为等边三角形，DC平面ABC，若6ACCD，则三棱锥DABC外接球的表面积的最小值为.变式10．（2023·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知三棱锥SABC中，SA平面ABC，2ABBCCA，异面直线SC与AB所成角的余弦值为24，则三棱锥SABC的外接球的表面积为．变式11．（2023·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PD底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若3PD，π3APDBAD，则三棱锥PAOD的外接球的体积为.变式12．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在四棱锥ABCDE中，AB平面BCDE，BCCD，BEDE，120CBE，且2ABBCBE，则该四棱锥的外接球的表面积为.变式13．（2023·广东韶关·高二统考期末）三棱锥PABC中,PA平面ABC,4PA,π3BAC,3BC