第03讲 二项式定理（十五大题型）（讲义）（原卷版）

第03讲二项式定理目录考点要求考题统计考情分析（1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．2023年北京卷第5题，4分2023年天津卷第11题，5分2023年上海卷第10题，5分2022年I卷第13题，5分(1)今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主,以考查基本运算和基本方法为主,难度中等偏下,与教材相当.(2)本节内容在高考中的比重可能会持续降低,但仍然是备考的重要内容.知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题（1）二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：011()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的rnrrnCab做二项展开式的通项，用1rT表示，即通项为展开式的第1r项：1rnrrrnTCab，其中的系数rnC（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，（2）二项式()nab的展开式的特点：①项数：共有1n项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r项的二项式系数为rnC，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；nnba)(④项的系数：二项式系数依次是012rnnnnnnCCCCC，，，，，，，项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）．（3）两个常用的二项展开式：①（）②（4）二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1rnrrrnTCab0,1,2,3,,rn公式特点：①它表示二项展开式的第1r项，该项的二项式系数是；②字母b的次数和组合数的上标相同；③a与b的次数之和为n．注意：①二项式()nab的二项展开式的第r+1项和()nba的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的．②通项是针对在()nab这个标准形式下而言的，如()nab的二项展开式的通项是（只需把b看成b代入二项式定理）．2、二项式展开式中的最值问题（1）二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0nnnCC；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即11mmmnnnCCC．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mnmnnCC．③二项式系数和令1ab，则二项式系数的和为0122rnnnnnnnCCCCC，变形式1221rnnnnnnCCCC．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11ab，，则0123(1)(11)0nnnnnnnnCCCCC，从而得到：0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC．⑤最大值：如果二项式的幂指数n是偶数，则中间一项12nT的二项式系数2nnC最大；如果二项式的幂指数n是奇数，则中间两项12nT，112nT的二项式系数12nnC，12nnC相等且最大．（2）系数的最大项求()nabx展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121nAAA，，，，设011()(1)(1)nnnrrnrrnnnnnnnabCaCabCabCb*Nn122(1)1nrrnnnnxCxCxCxxrnCrnrrnCabrnrrnCba1(1)rrnrrrnTCab第1r项系数最大，应有112rrrrAAAA，从而解出r来．知识点3、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对a，b的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a，b的值．①令，可得：②令11ab，，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．（2）若121210()nnnnnnfxaxaxaxaxa，则①常数项：令0x，得0(0)af．②各项系数和：令1x，得0121(1)nnfaaaaa．③奇数项的系数和与偶数项的系数和（i）当n为偶数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2ffaaa；偶数项的系数和为135(1)(1)2ffaaa．（可简记为：n为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）（ii）当n为奇数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2ffaaa；偶数项的系数和为135(1)(1)2ffaaa．（可简记为：n为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若1210121()nnnnfxaaxaxaxax，同理可得．注意：常见的赋值为令0x，1x或1x，然后通过加减运算即可得到相应的结果．题型一：求二项展开式中的参数例1．（2023·河南郑州·统考模拟预测）42xx的展开式中的常数项与321xax展开式中的常数项相等，则a的值为（）A．3B．2C．2D．3011222nnnnrnrrnnnnnnnabCaCabCabCabCb1ab012nnnnnCCC012301nnnnnnnCCCCC02131nnnnnnnnCCCCCCn0213112nnnnnnnnnCCCCCC例2．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知12nxx的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（）A．4B．5C．6D．8例3．（2023·全国·高三专题练习）62axx展开式中的常数项为－160，则a＝（）A．－1B．1C．±1D．2变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知6axx的展开式中的常数项为160，则实数a（）A．2B．-2C．8D．-8变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知2nxx的展开式中第3项是常数项，则n（）A．6B．5C．4D．3【解题方法总结】在形如()mnNaxbx的展开式中求tx的系数，关键是利用通项求r，则Nmtrmn．题型二：求二项展开式中的常数项例4．（2023·重庆南岸·高三重庆第二外国语学校校考阶段练习）已知0a，二项式62axx的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（）A．36B．30C．15D．10例5．（2023·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）二项式812xx的展开式中的常数项为（）A．1792B．－1792C．1120D．－1120例6．（2023·北京房山·高三统考开学考试）262()xx的展开式中的常数项是（）A．240B．240C．15D．15变式3．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）623112xxx的展开式中的常数项为（）A．20B．20C．－10D．10变式4．（2023·全国·高三专题练习）若2*31Nnxnx的展开式中存在常数项，则n（）A．*2NkkB．*3NkkC．*5NkkD．*7Nkk变式5．（2023·全国·高三对口高考）若*13Nnxnx展开式中含有常数项，则n的最小值是（）A．2B．3C．12D．10【解题方法总结】写出通项，令指数为零，确定r，代入．题型三：求二项展开式中的有理项例7．（2023·全国·高三专题练习）在53xy的展开式中，有理项的系数为（）A．10B．5C．5D．10例8．（2023·全国·高考真题）二项式503(23)x的展开式中系数为有理数的项共有（）A．6项B．7项C．8项D．9项例9．（2023·江西南昌·高三统考阶段练习）831xx的展开式中所有有理项的系数和为（）A．85B．29C．27D．84变式6．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考阶段练习）二项式2441xx展开式中，有理项共有（）项．A．3B．4C．5D．7变式7．（2023·安徽宣城·高三统考期末）在二项式12312xx的展开式中，有理项共有（）A．3项B．4项C．5项D．6项变式8．（2023·全国·高三专题练习）若65(32)nxx的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数n的取值为（）A．4B．6或8C．7或8D．8【解题方法总结】先写出通项，再根据数的整除性确定有理项．题型四：求二项展开式中的特定项系数例10．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知2nxy的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的52xy项的系数为（）A．―4B．84C．―280D．560例11．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）6211(2)2xx展开式中2x的系数为（）A．270B．240C．210D．180例12．（2023·广东揭阳·高三校考阶段练习）2611xx的展开式中4x的系数是（）A．20B．20C．10D．10变式9．（2023·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知2*2nxnxN的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中3x的系数为（）A．240B．240C．160D．160变式10．（2023·全国·高三专题练习）在二项式82xx的展开式中，含x的项的二项式系数为（）A．28B．56C．70D．112变式11．（2023·北京·高三专题练习）在二项式52xx的展开式中，含3x项的二项式系数为（）A．5B．5C．10D．10【解题方法总结】写出通项，确定r，代入．题型五：求三项展开式中的指定项例13．（2023·全国·高三专题练习）在12202211xx的展开式中，2x的系数为.例14．（2023·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）5(21)xy展开式中含3xy项的系数为．例15．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）6(23)xyz的展开式中23xyz的系数为（用数字作答）．变式12．（2023·福建三明·高三统考期末）512xx展开式中常数项是.（答案用数字作答）变式13．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）74212xyxy展开式中的常数项为.变式14．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）25()xxy的展开式中，52xy的系数为．变式15．（2023·广东汕头·统考三模）7221xx展开式中5x的系数是.【解题方法总结】三项式()()nabcnN的展开式：()[()]nnabcabcnrrrnCabcrqnrqqrnnrCCabcrqnrqqrnnrCCabc若令nrqp，便得到三项式()()nabcnN展开式通项公式：()rqpqrnnrCCabcpqrNpqrn，，，，其中!(r)!!!()!!()!!!!rqnnrnnnCCrnrqnrqpqr叫三项式系数．题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数例16．（2023·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）5(12)(13)xx的展开式中3x的系数为．例17．（2023·河北保定·高三校联考开学考试）在5321xxx的展开式中含x项的系数是.例18．（2023·江西南昌·高三统考开学考试）261(1)xxx展开式中7x的系数是.变式16．（2023·江苏苏州·高三统考开学考试）6111x