第07讲 离散型随机变量的分布列与数字特征（六大题型）（讲义）（原卷版）

第07讲离散型随机变量的分布列与数字特征目录考点要求考题统计考情分析（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．（2）理解并会求离散型随机变量的数字特征．2023年I卷第21题，12分2023年甲卷（理）第19题，12分2023年上海卷第19题，14分2023年北京卷第18题，13分从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，特别是解答题中，更是经常出现．随着计算机技术和人工智能的发展，概率统计逐步成为应用最广泛的数学内容之一．这部分内容作为高考数学的主干内容之一，会越来越受到重视．主要以应用题的方式出现，多与经济、生活实际相联系，需要在复杂的题目描述中找出数量关系，建立数学模型，并且运用数学模型解决实际问题．知识点一．离散型随机变量的分布列1、随机变量在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母X，Y，，，…表示．注意：（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，0X表示反面向上，1X表示正面向上．（3）随机变量的线性关系：若X是随机变量，YaXb，ab，是常数，则Y也是随机变量．2、离散型随机变量对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．注意：（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．3、离散型随机变量的分布列的表示一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为12inxxxx，，，，，，X取每一个值ix(12)in，，，的概率()iPXxip，以表格的形式表示如下：X1x2xixnxP1p2pipnp我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也用等式()iiPXxp，12in，，，表示X的分布列．4、离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：（1）0ip，12in，，，；（2）121nppp．注意：①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．知识点二．离散型随机变量的均值与方差1、均值若离散型随机变量X的分布列为X1x2xixnxP1p2pipnp称1122()1iinnEXxpxpxpxp为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．注意：（1）均值()EX刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机变量X的一个重要特征；（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．2、均值的性质（1）()ECC（为常数）．（2）若YaXb，其中ab，为常数，则Y也是随机变量，且()()EaXbaEXb．（3）1212()()()EXXEXEX．（4）如果12XX，相互独立，则1212()()()EXXEXEX．3、方差若离散型随机变量X的分布列为X1x2xixnxP1p2pipnp则称21(()())niiiDXxEXp为随机变量X的方差，并称其算术平方根()DX为随机变量X的标准差．注意：（1）2(())ixEX描述了(12)ixin，，，相对于均值()EX的偏离程度，而()DX是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值()EX的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．4、方差的性质（1）若YaXb，其中,ab为常数，则Y也是随机变量，且2()()DaXbaDX．（2）方差公式的变形：22()()[()]DXEXEX．题型一：离散型随机变量例1．（2023·高二课时练习）下列叙述中，是离散型随机变量的为（）A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B．某人早晨在车站等出租车的时间C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性例2．（2023·全国·高三专题练习）袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则C可以作为随机变量的是（）A．至少取到1个白球B．取到白球的个数C．至多取到1个白球D．取到的球的个数例3．（2023·全国·高三专题练习）下面是离散型随机变量的是（）A．电灯泡的使用寿命XB．小明射击1次，击中目标的环数XC．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值XD．一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X变式1．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则3表示（）A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次变式2．（2023·全国·高三专题练习）对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为()A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品变式3．（2023·浙江·高三专题练习）袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1,2，…，6B．1,2，…，7C．1,2，…，11D．1,2,3…题型二：求离散型随机变量的分布列例4．（2023·全国·高三对口高考）数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个“巧合”，求“巧合”个数的分布列．例5．（2023·全国·高三对口高考）假如一段楼梯有11个台阶，现规定每步只能跨1个或2个台阶，则某人走完这段楼梯的单阶步数的分布列是．例6．（2023·全国·高三对口高考）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的分布列是．变式4．（2023·全国·高三对口高考）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打局数的分布列是．变式5．（2023·全国·高考真题）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：．012P变式6．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的分布为1,2,3,4,55kPakk，则171010P．变式7．（2023·全国·高三专题练习）将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是.变式8．（2023·全国·高三专题练习）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为．【解题方法总结】求解离散型随机变量分布列的步骤：（1）审题（2）计算计算随机变量取每一个值的概率（3）列表列出分布列，并检验概率之和是否为1.（4）求解根据均值、方差公式求解其值.题型三：离散型随机变量的分布列的性质例7．（2023·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且02PXa，1PXa，那么a.例8．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的分布列如下：12345678910P1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a给出下列四个结论：①当na为等差数列时，5615aa；②当na为等差数列时，公差1045d；③当数列na满足11,2,,92nnan时，10912a；④当数列na满足时，21,2,10kPkkak时，11101nann.其中所有正确结论的序号是.例9．（2023·全国·高三对口高考）某一随机变量的概率分布如下表，且1.5E，则mn的值为．0123P0.2mn0.3变式9．（2023·河南·校联考模拟预测）已知随机变量X的所有可能取值为1，2，3，其分布列为X123P1P2P3P若53EX，则31PP.变式10．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的概率分布列为01P29aa38a则常数a．变式11．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量X的分布列1,2,32ikPXii，则2PX.变式12．（2023·上海·统考模拟预测）随机变量X的分布列如下列表格所示，其中EX为X的数学期望，则EXEX.X12345p0.1a0.20.30.1变式13．（2023·广东汕头·高三统考开学考试）已知等差数列na的公差为d，随机变量X满足01,1,2,3,4iiPXiaai，则d的取值范围为.变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为X02aP0.20.4b若1.6EX，则正整数a＝．【解题方法总结】离散型随机变量的分布列性质的应用（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；（2）利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率；（3）可以根据性质121nppp及0ip，1,2,,in判断所求的分布列是否正确．题型四：离散型随机变量的均值例10．（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）2022年10月16日至22日中共二十大在北京召开，二十大报告指出，必须坚持科技是第一生产力，人才是第一资源，创新是第一动力，这其实是我党的一贯政策．某材料学博士毕业时恰逢国家大力倡导“开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势”，于是同一帮志同道合的博士同学，在老家创办新材料公司，专注于二氧化硅、碳纤维增强陶瓷基、树脂基三大类复合材料的研发与生产，预计到今年年底这三大类复合材料盈利100万元的概率分别为0.8，0.5，0.4，若三大类复合材料到今年年底是否盈利100万元相互独立，记三大类复合材料有X类到今年年底盈利100万元，则X的数学期望EX．例11．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X表示取出的3个球中最大编号，则EX．例12．（2023·全国·高三专题练习）现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.1张彩票中奖金额的均值是元.变式15．（2