2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章　§1.3　等式性质与不等式性质

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§1.3等式性质与不等式性质考试要求1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法a－b0⇔ab，a－b＝0⇔a＝b，a－b0⇔ab.(a，b∈R)2．等式的性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.3．不等式的性质性质1对称性：ab⇔ba；性质2传递性：ab，bc⇒ac；性质3可加性：ab⇔a＋cb＋c；性质4可乘性：ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc；性质5同向可加性：ab，cd⇒a＋cb＋d；性质6同向同正可乘性：ab0，cd0⇒acbd；性质7同正可乘方性：ab0⇒anbn(n∈N，n≥2)．常用结论1．若ab0，且ab⇔1a1b.2．若ab0，m0⇒bab＋ma＋m；若ba0，m0⇒bab＋ma＋m.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，a＝b，ab三种关系中的一种．(√)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)若ba1，则ba.(×)(3)若xy，则x2y2.(×)(4)若1a1b，则ba.(×)教材改编题1．如果acbc，那么下列不等式中，一定成立的是()A．ac2bc2B．abC．a＋cb＋cD.acbc答案D解析若c0，则ab，所以ac2bc2，a＋cb＋c，A，B，C均错；因为acbc，则c20，因为acbc，则acc2bcc2，即acbc，故D正确．2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．答案MN解析∵M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋20，∴MN.3．若1a2,2b3，则ab的取值范围是________．答案13，1解析由2b3，得131b12，又1a2，∴1×13a×1b2×12，即13ab1.题型一数(式)的大小比较例1(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为()A．MNB．MNC．M≤ND．M≥N答案B公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋40，所以MN.(2)若ab1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是()A．PQB．P＝QC．PQD．不能确定答案C解析P，Q作商可得PQ＝aebbea＝ebbeaa，令f(x)＝exx，则f′(x)＝exx－1x2，当x1时，f′(x)0，所以f(x)＝exx在(1，＋∞)上单调递增，因为ab1，所以ebbeaa，又ebb0，eaa0，所以PQ＝ebbeaa1，所以PQ.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为()A．MNB．M＝NC．MND．不确定答案A解析因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b，所以(a－b)20，即MN.(2)已知M＝e2021＋1e2022＋1，N＝e2022＋1e2023＋1，则M，N的大小关系为________．答案MN解析方法一M－N＝e2021＋1e2022＋1－e2022＋1e2023＋1＝e2021＋1e2023＋1－e2022＋12e2022＋1e2023＋1公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君＝e2021＋e2023－2e2022e2022＋1e2023＋1＝e2021e－12e2022＋1e2023＋10.∴MN.方法二令f(x)＝ex＋1ex＋1＋1＝1eex＋1＋1＋1－1eex＋1＋1＝1e＋1－1eex＋1＋1，显然f(x)是R上的减函数，∴f(2021)f(2022)，即MN.题型二不等式的性质例2(1)已知abc0，下列结论正确的是()A．2ab＋cB．a(b－c)b(a－c)C.1a－c1b－cD．(a－c)3(b－c)3答案D解析∵abc0，∴2ab＋c，故A错误；取a＝3b＝2c＝10，则a(b－c)＝3b(a－c)＝4，故B错误；由abc0可知，a－cb－c0，∴1a－c1b－c，(a－c)3(b－c)3，故C错误，D正确．(2)(多选)若a0b－a，cd0，则下列结论正确的是()A．adbcB.ad＋bc0C．a－cb－dD．a(d－c)b(d－c)答案BCD解析因为a0b，cd0，所以ad0，bc0，所以adbc，故A错误；因为0b－a，所以a－b0，因为cd0，所以－c－d0，所以a(－c)(－b)(－d)，所以ac＋bd0，cd0，所以ac＋bdcd＝ad＋bc0，故B正确；因为cd，所以－c－d，因为ab，所以a＋(－c)b＋(－d)，即a－cb－d，故C正确；因为a0b，d－c0，所以a(d－c)b(d－c)，故D正确．思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2(1)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是()A．若ab，则ac2bc2B．若ac2bc2，则abC．若abc0，则bab＋ca＋cD．若ab，则a2b2答案C解析对于A选项，当c＝0时不满足，故错误；对于B选项，由不等式性质知，ac2bc2两边同时乘以c20，可得ab，故错误；对于C选项，若abc0，则a＋c0，b－a0，(b－a)c0，a(a＋c)0，故ba－b＋ca＋c＝ba＋c－ab＋caa＋c＝b－acaa＋c0，即bab＋ca＋c，故正确；对于D选项，取a＝－1，b＝－2，可得a2b2，故错误．(2)(多选)若1a1b0，则下列不等式正确的是()A.1a＋b1abB．|a|＋b0C．a－1ab－1bD．lna2lnb2答案AC解析由1a1b0，可知ba0.A中，因为a＋b0，ab0，所以1a＋b0，1ab0.则1a＋b1ab，故A正确；B中，因为ba0，所以－b－a0.故－b|a|，即|a|＋b0，故B错误；C中，因为ba0，又1a1b0，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则－1a－1b0，所以a－1ab－1b，故C正确；D中，因为ba0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2a20，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以lnb2lna2，故D错误．题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知－1x4,2y3，则x－y的取值范围是__________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1x4,2y3，∴－3－y－2，∴－4x－y2.由－1x4,2y3，得－33x12,42y6，∴13x＋2y18.延伸探究若将本例(1)中条件改为－1x＋y4,2x－y3，求3x＋2y的取值范围．解设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则m＋n＝3，m－n＝2，∴m＝52，n＝12.即3x＋2y＝52(x＋y)＋12(x－y)，又∵－1x＋y4,2x－y3，∴－5252(x＋y)10,112(x－y)32，∴－3252(x＋y)＋12(x－y)232，即－323x＋2y232，∴3x＋2y的取值范围为－32，232.(2)已知3a8,4b9，则ab的取值范围是________．答案13，2解析∵4b9，∴191b14，又3a8，∴19×3ab14×8，即13ab2.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君思维升华求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是()A．[－7,4]B．[－6,9]C．[6,9]D．[－2,8]答案A解析因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.(2)已知实数a，b，c，满足abc，且a＋b＋c＝0，那么ca的取值范围是________．答案－2ca－12解析由于abc，且a＋b＋c＝0，所以a0，c0，b＝－a－c，－a－ca,2a－c，ca－2，－a－cc，－a2c，ca－12，所以－2ca－12.课时精练1．(2023·长春模拟)已知a0，b0，M＝a＋b，N＝a＋b，则M与N的大小关系为()A．MNB．MNC．M≤ND．M，N大小关系不确定答案B解析M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2ab)＝－2ab0，∴MN.2．已知a，b∈R，若ab，1a1b同时成立，则()A．ab0B．ab0C．a＋b0D．a＋b0公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案A解析因为1a1b，所以1a－1b＝b－aab0，又ab，所以b－a0，所以ab0.3．(多选)已知ab0，则下列结论正确的是()A．b2abB.1a1bC．2a2bD．ln(1－a)ln(1－b)答案AD解析对于A，因为ab0，所以b－a0，则b2－ab＝b(b－a)0，即b2ab，故选项A正确；对于B，因为ab0，所以ab0，则aabbab，即1b1a，故选项B错误；对于C，因为ab0且函数y＝2x是增函数，所以2a2b，故选项C错误；对于D，因为ab0，所以1－a1－b1，又因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以ln(1－a)ln(1－b)，故选项D正确．4．若－παβπ，则α－β的取值范围是()A．－2πα－β2πB．0α－β2πC．－2πα－β0D．{0}答案C解析∵－πβπ，∴－π－βπ，又－παπ，∴－2πα－β2π，又αβ，∴α－β0，∴－2πα－β0.5．已知x，y∈R，且xy0，则()A．cosx－cosy0B．cosx＋cosy0C．lnx－lny0D．lnx＋lny0答案C解析对于A，y＝cosx在(0，＋∞)上不是单调函数，故cosx－cosy0不一定成立，A错误；对于B，当x＝π，y＝π2时，cosx＋cosy＝－10，B不一定成立；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君对于C，y＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，若xy0，则lnxlny，必有lnx－lny0，C正确；对于D，当x＝1，y＝12时，lnx＋lny＝ln120，D不一定成立．6．(多选)(2023·汕头模拟)已知a，b，c满足cab，且ac0，那么下列各式中一定成立的是()A．ac(a－c)0B．c(b－a)0C．cb2a