2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.12　函数模型的应用

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§2.12函数模型的应用考试要求1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．知识梳理1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值的变化而各有不同2．常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a0)和y＝logax(a1)的增长速度．(√)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(×)教材改编题1．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是()A．y＝5xB．y＝log5xC．y＝x5D．y＝5x答案D解析结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．2．在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y－0.99－0.010.982.00则对x，y最适合的函数模型是()A．y＝2xB．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2x答案D解析根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.3．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－x225＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元．答案150解析因为y＝－x225＋12x－210＝－125(x－150)2＋690，所以当x＝150时，y取最大值，即该商品的利润最大时，当日售价为150元.题型一用函数图象刻画变化过程例1(1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒答案ABC解析从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．(2)根据一组试验数据画出的散点图如图所示．现有如下5个函数模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝log2x；⑤y＝12x＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)答案④解析由图可知上述点大体分布在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．跟踪训练1如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是下图中的()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案A解析当点P在AB上时，y＝12×x×1＝12x,0≤x≤1；当点P在BC上时，y＝S正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM＝－14x＋34，1x≤2；当点P在CM上时，y＝12×52－x×1＝－12x＋54，2x≤52.由函数可知，有三段直线，又当点P在BC上时是减函数，故选A.题型二已知函数模型的实际问题例2(1)(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6答案C解析4.9＝5＋lgV⇒lgV＝－0.1⇒V＝11010＝11010≈11.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.(2)(2022·莆田质检)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常数．如果2h后还剩下90%的污染物，5h后还剩下30%的污染物，那么8h后还剩下________%的污染物．答案10解析设初始污染物数量为P′，则P0·e－2k＝910P′，P0·e－5k＝310P′，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君两式相除得e3k＝3.所以8h后P＝P0·e－8k＝e－3k·P0·e－5k＝13·310P′＝110P′，即还剩下110×100%＝10%的污染物．思维升华已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．跟踪训练2(1)(多选)(2023·德州模拟)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗VN称为接种率，那么1个感染者传染人数为R0N(N－V)．已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率不可能为()A．45%B．55%C．65%D．75%答案ABC解析为了使1个感染者传染人数不超过1，只需R0N(N－V)≤1，即R0·1－VN≤1，因为R0＝4，故1－VN≤14，可得VN≥34.(2)牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t为时间，单位：分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设一杯开水温度θ1＝100℃，环境温度θ0＝20℃，常数k＝0.2，大约经过________分钟水温降为40℃(参考数据：ln2≈0.7)()A．10B．9C．8D．7答案D解析依题意知，40＝20＋(100－20)·e－0.2t，则e－0.2t＝14，－0.2t＝ln14＝－2ln2，所以t＝2ln20.2＝10ln2≈7(分钟)．题型三构造函数模型的实际问题例3智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0与人的反应时间t1，系统反应时间t2，制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示．当车速为v(米/秒)，且0v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君等路面情况而变化，且1≤k≤2)．阶段准备人的反应系统反应制动时间t0t1＝0.8秒t2＝0.2秒t3距离d0＝10米d1d2d3＝v220k米(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式，并求当k＝2时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车在k＝1的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下(单位：米/秒)?解(1)由题意知，d(v)＝d0＋d1＋d2＋d3＝10＋0.8v＋0.2v＋v220k，即d(v)＝10＋v＋v220k，当k＝2时，d(v)＝10＋v＋v240，t(v)＝dvv＝10v＋v40＋1≥2×12＋1＝2，当且仅当v＝20时等号成立，0v≤33.3，即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒．(2)当k＝1时，d(v)50，即10＋v＋v22050，即v2＋20v－8000，－40v20，又0v≤33.3，故0v20，所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下．思维升华构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．跟踪训练3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君于60m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)()A．4B．5C．6D．7答案C解析设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.9n－1.由100×0.9n－160，得0.9n－10.6，则(n－1)ln0.9ln0.6，即n－1ln0.6ln0.9≈－0.511－0.105≈4.87，则n5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6.(2)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位：万元)之间满足函数关系式x＝3－2t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半