2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.8　对数与对数函数

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§2.8对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数．知识梳理1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，logaNa＝N(a0，且a≠1，N0)．(2)对数的运算性质如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)对数换底公式：logab＝logcblogca(a0，且a≠1；b0；c0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质a10a1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．常用结论1．logab·logba＝1，logmnab＝nmlogab.2．如图给出4个对数函数的图象则ba1dc0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，1a，－1.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M＝N，则logaM＝logaN.(×)(2)函数y＝loga2x(a0，且a≠1)是对数函数．(×)(3)对数函数y＝logax(a0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(4)函数y＝log2x与y＝121logx的图象重合．(√)教材改编题1．若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为()A．[0,1]B．(0,1)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)答案A解析根据复合函数单调性同增异减可知f(x)在[0,1]上单调递增，因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则log21≤log2(x＋1)≤log22，即f(x)∈[0,1]．2．函数y＝loga(x－2)＋2(a0，且a≠1)的图象恒过点________．答案(3,2)解析∵loga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，y＝2，∴函数的图象过定点(3,2)．3．eln2＋log202216log20224＝________.答案4解析eln2＋log202216log20224＝2＋log416＝2＋2＝4.题型一对数式的运算例1(1)若2a＝5b＝10，则1a＋1b的值是()A．－1B.12C.710D．1答案D解析由2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴1a＝lg2，1b＝lg5，∴1a＋1b＝lg2＋lg5＝lg10＝1.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)计算：log535＋122log2－log5150－log514＝________.答案2解析原式＝log535－log5150－log514＋212log2＝log535150×14＋12log2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.思维升华解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝log85，则4a－3b＝________.答案925解析因为2a＝3，所以a＝log23，又b＝log85，所以b＝13log25，所以a－3b＝log235，4a－3b＝232log52＝925.(2)(lg5)2＋lg2lg5＋12lg4－log34×log23＝________.答案－1解析原式＝lg5(lg5＋lg2)＋12lg4－2lg2lg3×lg3lg2＝lg5＋lg2－2＝1－2＝－1.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0a－1b1B．0ba－11公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君C．0b－1a1D．0a－1b－11答案A解析由函数图象可知，f(x)为增函数，故a1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1logab0，解得1ab1.综上，0a－1b1.(2)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝|lnx|，若0ab，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析f(x)＝|lnx|的图象如图，因为f(a)＝f(b)，所以|lna|＝|lnb|，因为0ab，所以lna0，lnb0，所以0a1，b1，所以－lna＝lnb，所以lna＋lnb＝ln(ab)＝0，所以ab＝1，则b＝1a，所以a＋2b＝a＋2a，令g(x)＝x＋2x(0x1)，则g(x)在(0,1)上单调递减，所以g(x)g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知lga＋lgb＝0(a0且a≠1，b0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝1logbx的图象可能是()答案B解析∵lga＋lgb＝0(a0且a≠1，b0且b≠1)，∴ab＝1，∴a＝1b，∴g(x)＝1logbx＝logax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝1logbx互为反函数，∴函数f(x)＝ax与g(x)＝1logbx的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．(2)(2023·濮阳模拟)已知a0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为()答案D解析由函数y＝ax的图象可得a1.当a1时，y＝logax经过定点(1,0)，为增函数．因为y＝logax与y＝loga(－x)关于y轴对称，所以y＝loga(－x)经过定点(－1,0)，为减函数．而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的图象向右平移一个单位长度得到的，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以f(x)＝loga(－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．结合选项可知选D.题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小例3(2023·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．bacC．acbD．cab答案C解析a＝log30.5log31＝0，即a0；b＝log3πlog33＝1，即b1；0＝log41log43log44＝1，即0c1，∴acb.命题点2解对数方程、不等式例4若loga(a＋1)loga(2a)0(a0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．答案14，1解析由题意loga(a＋1)loga(2a)loga1，得a1，a＋12a1或0a1，a＋12a1，解得14a1.命题点3对数函数的性质及应用例5(2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)()A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减B．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增D．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增答案A解析函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}，f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|，令g(x)＝|x2－9|，则f(x)＝lng(x)，函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知，当x∈(－∞，－3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减，当x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增，由复合函数单调性同增异减得单调区间．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数．思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(1,3]B．(1,3)C．(0,1)D．(1，＋∞)答案A解析令t(x)＝6－ax，因为a0，所以t(x)＝6－ax为减函数．又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0,2)上单调递减，可得函数t(x)＝6－ax0在(0,2)上恒成立，且a1，故有a1，6－2a≥0，解得1a≤3.(2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝logax2－ax＋12(a0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________．答案(1，2)解析令u(x)＝x2－ax＋12＝x－a22＋12－a24，则u(x)有最小值12－a24，欲使函数f(x)＝logax2－ax＋12有最小值，则有a1，12－a240，解得1a2，即实数a的取值范围为(1，2)．课时精练1．函数f(x)＝log0.52x－1的定义域为()A.12，1B.12，1C.－∞，12D．[1，＋∞)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案A解析由题意，要使函数f(x)＝log0.52x－1有意义，则满足log0.5(2x－1)≥0，所以02x－1≤1，解得12x≤1，即函数f(x)的定义域为12，1.2．若函数f(x)＝logax(a0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log28)等于()A．－1B．1C．2D．3答案B解析依题意，函数f(x)＝logax(a0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)，则a＝3，f(x)＝log3x，于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1，所以f(log28)＝1.3．函数f(x)＝log2(|x|－1)的图象为()答案A解析函数f(x)＝log2(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B，C；由f(－x)＝log2(|－x|－1)＝log2(|x|－1)＝f(x)，可知函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除D.4．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下