2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第3章　§3.4　函数中的构造问题[培优课]

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§3.4函数中的构造问题函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．题型一导数型构造函数命题点1利用f(x)与x构造例1(2023·苏州质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln2·f(ln2)，c＝log218·flog218，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cbaC．acbD．cab答案B解析因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，由题意知，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)0成立，所以g(x)在(－∞，0]上单调递减，又g(x)是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，因为20.61,0ln21，log218＝－30，所以log2180ln2120.6，又a＝g(20.6)，b＝g(ln2)，c＝glog218，所以cba.思维升华(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝fxxn.跟踪训练1(2023·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)0的解集是()A．(－∞，1)B．(－1,1)C．(－∞，0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0,1)答案D解析令g(x)＝fxx2且x≠0，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则g′(x)＝xf′x－2fxx3，又对任意正实数x满足xf′(x)2f(x)，即当x0时，g′(x)0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由f(x)为偶函数，则g(－x)＝f－x－x2＝fxx2＝g(x)，所以g(x)也为偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，则g(－1)＝g(1)＝f11＝0，且f(x)0等价于g(x)＝fxx2f11＝g(1)，所以x∈(－1,0)∪(0,1)．命题点2利用f(x)与ex构造例2(2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－f(x)1，且f(0)＝2022，则不等式f(x)＋12023ex的解集为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C.－∞，1eD．(－∞，1)答案A解析构造函数F(x)＝fx＋1ex，则F′(x)＝f′x·ex－[fx＋1]·exe2x＝f′x－fx－1ex，因为f′(x)－f(x)1，所以F′(x)0恒成立，故F(x)＝fx＋1ex在R上单调递减，f(x)＋12023ex可变形为fx＋1ex2023，又f(0)＝2022，所以F(0)＝f0＋1e0＝2023，所以F(x)F(0)，解得x0.思维升华(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝fxenx.跟踪训练2(2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)0，且有f(3)＝3，则f(x)3e3－x的解集为________．答案(3，＋∞)解析设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]0，∴F(x)在R上单调递增．又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)3e3－x等价于f(x)·ex3e3，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君即F(x)F(3)，∴x3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．命题点3利用f(x)与sinx，cosx构造例3已知偶函数f(x)的定义域为－π2，π2，其导函数为f′(x)，当0xπ2时，有f′(x)cosx＋f(x)sinx0成立，则关于x的不等式f(x)2fπ3cosx的解集为()A.－π2，－π3∪π3，π2B.－π3，π3C.－π2，－π3D.π3，π2答案A解析因为偶函数f(x)的定义域为－π2，π2，所以设g(x)＝fxcosx，则g(－x)＝f－xcos－x＝fxcosx，即g(x)也是偶函数．当0xπ2时，根据题意g′(x)＝f′xcosx＋fxsinxcos2x0，则g(x)在0，π2上单调递减，且为偶函数，则g(x)在－π2，0上单调递增．所以f(x)2fπ3cosx⇔fxcosxfπ3cosπ3⇔g(x)gπ3，所以|x|π3，－π2xπ2，解得x∈－π2，－π3∪π3，π2.思维升华函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君F(x)＝fxsinx，F′(x)＝f′xsinx－fxcosxsin2x；F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝fxcosx，F′(x)＝f′xcosx＋fxsinxcos2x.跟踪训练3已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)sinx＋f(x)cosx0，若a＝22f－π6，b＝－fπ4，则a与b的大小关系为_____．(用“”连接)答案ab解析设φ(x)＝f(x)·sinx，则φ′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx，∴x∈(0，＋∞)时，φ′(x)0，即φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，∴φ(x)为偶函数，∴φ－π6＝φπ6φπ4，即f－π6·sin－π6fπ4·sinπ4，即－12f－π622fπ4，即22f－π6－fπ4，∴ab.题型二同构法构造函数例4(1)(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则()A．a2bB．a2bC．ab2D．ab2答案B解析由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又∵22b＋log2b22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，∴2a＋log2a22b＋log22b，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君即f(a)f(2b)，∴a2b.(2)(2023·武汉模拟)已知a0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－alnx成立，则a的最小值为________．答案e解析∵xa＝lneax＝ealnx，∴不等式即为ex－x≤ealnx－alnx，∵a0且x1，∴alnx0，设y＝ex－x，则y′＝ex－10，故y＝ex－x在(1，＋∞)上单调递增，∴x≤alnx，即a≥xlnx，即存在x∈(1，＋∞)，使a≥xlnx，∴a≥xlnxmin，设f(x)＝xlnx(x1)，则f′(x)＝lnx－1ln2x，当x∈(1，e)时，f′(x)0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(e)＝e，∴a≥e.故a的最小值为e.思维升华指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成lnex然后构造函数；另一种是将x变成elnx然后构造函数．跟踪训练4(1)(多选)(2023·泰州模拟)已知α，β均为锐角，且α＋β－π2sinβ－cosα，则()A．sinαsinβB．cosαcosβC．cosαsinβD．sinαcosβ答案CD解析∵α＋β－π2sinβ－cosα，∴β－sinβπ2－α－sinπ2－α，令f(x)＝x－sinx，x∈0，π2，f′(x)＝1－cosx0，∴f(x)在0，π2上单调递增，∴βπ2－α，∵α，β均为锐角，∴cosβcosπ2－α，sinβsinπ2－α，∴cosβsinα，sinβcosα.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)(2023·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeablnb，则()A．abeB．beaC．abeD．bea答案B解析由已知aeablnb，则ealneablnb.设f(x)＝xlnx，则f(ea)f(b)．因为a0，则blnb0，则b1.当x1时，f′(x)＝lnx＋10，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以eab.课时精练1．(2023·株州模拟)已知a＝1e2，b＝ln24，c＝ln39，则()A．abcB．cabC．bacD．cba答案B解析设f(x)＝lnxx2，则a＝f(e)，b＝f(2)，c＝f(3)，又f′(x)＝1－2lnxx3，于是当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)＝lnxx2在(e，＋∞)上单调递减，注意到e4＝2e3，则有f(3)f(e)f(2)，即cab.2．若2x－2y3－x－3－y，则()A．ln(y－x＋1)0B．ln(y－x＋1)0C．ln|x－y|0D．ln|x－y|0答案A解析由2x－2y3－x－3－y，得2x－3－x2y－3－y，令f(t)＝2t－3－t，∵y＝2t为R上的增函数，y＝3－t为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴xy，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∵y－x0，∴y－x＋11，∴ln(y－x＋1)0，则A正确，B错误；∵|x－y|与1的大小不确定，故C，D无法确定．3．(2023·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x0，且f(1)＝3，则f(x)x2＋2的解集是()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(0,1)答案B解析令g(x)＝f(x)－x2，因为f(x)是偶函数，则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，所以函数g(x)也是偶函数，g′(x)＝f′(x)－2x，因为当x≥0时，f′(x)－2x0，所以当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，不等式f(x)x2＋2即为不等式g(x)2，由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)g(1)，所以|x|1，解得x1或x－1，所以f(x)x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．4．(2023·常州模拟)已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且当x0时，f′(x)sinx＋f(x)cosx0，则下列说法正确的是()A．f5π6－f7π6－f－π6B．－f7π6f5π6－f－π6C．－f－π6－f7π6f5π6D．－f－π6f5π6－f7π6答案D解析由f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可知，f(x)的图象关于点(0,0)对称，则f(x)为奇函数，令g(x)＝f(x)sinx，则g(x)为偶函数，又x0时，f′(x)sinx＋f(x)cosx0，即[f(