2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.4　简单的三角恒等变换

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§4.4简单的三角恒等变换考试要求能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)公式T2α：tan2α＝2tanα1－tan2α.2．常用的部分三角公式(1)1－cosα＝2sin2α2,1＋cosα＝2cos2α2.(升幂公式)(2)1±sinα＝sinα2±cosα22.(升幂公式)(3)sin2α＝1－cos2α2，cos2α＝1＋cos2α2，tan2α＝1－cos2α1＋cos2α.(降幂公式)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．(√)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(√)(3)cos2θ2＝1＋cosθ2.(√)(4)tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.(√)教材改编题1．(2021·全国乙卷)cos2π12－cos25π12等于()A.12B.33C.22D.32答案D解析方法一(公式法)因为cos5π12＝sinπ2－5π12＝sinπ12，所以cos2π12－cos25π12＝cos2π12－sin2π12＝cos2×π12＝cosπ6＝32.方法二(代值法)因为cosπ12＝6＋24，cos5π12＝6－24，所以cos2π12－cos25π12＝6＋242－6－242＝32.2．若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α等于()A．－43B.34C．－34D.43答案D解析由题意知，tanα＝－2，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝43.3．若α为第二象限角，sinα＝513，则sin2α等于()A．－120169B．－60169C.120169D.60169答案A解析因为α为第二象限角，sinα＝513，所以cosα＝－1－sin2α＝－1－5132＝－1213，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×513×－1213＝－120169.题型一三角函数式的化简公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君例1(1)(2021·全国甲卷)若α∈0，π2，tan2α＝cosα2－sinα，则tanα等于()A.1515B.55C.53D.153答案A解析方法一因为tan2α＝sin2αcos2α＝2sinαcosα1－2sin2α，且tan2α＝cosα2－sinα，所以2sinαcosα1－2sin2α＝cosα2－sinα，解得sinα＝14.因为α∈0，π2，所以cosα＝154，tanα＝sinαcosα＝1515.方法二因为tan2α＝2tanα1－tan2α＝2sinαcosα1－sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α－sin2α＝2sinαcosα1－2sin2α，且tan2α＝cosα2－sinα，所以2sinαcosα1－2sin2α＝cosα2－sinα，解得sinα＝14.因为α∈0，π2，所以cosα＝154，tanα＝sinαcosα＝1515.(2)已知sinα＋cosα＝233，则sin2α－π4＝________.答案13解析因为sinα＋cosα＝233，两边同时平方得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝43，即sin2α＝13，由降幂公式可知sin2α－π4＝1－cos2α－π22＝1－sin2α2＝12－12sin2α＝13.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君跟踪训练1(1)若f(α)＝2tanα－2sin2α2－12sinα2·cosα2，则fπ12的值是________．答案6－3解析依题意，f(α)＝2tanα－－cosαsinα＝2tanα＋1tanα，而tanπ12＝tanπ3－π4＝tanπ3－tanπ41＋tanπ3·tanπ4＝3－11＋3＝2－3，于是得fπ12＝2(2－3)＋12－3＝6－3，所以fπ12的值是6－3.(2)化简：1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2＝________.答案2sinα解析1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.题型二三角函数式的求值命题点1给角求值例2计算：(1)sin10°·sin30°·sin50°·sin70°；(2)12sin10°－32cos10°；(3)cos10°1＋3tan10°－2sin50°1－cos10°.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解(1)原式＝12cos20°·cos40°·cos80°＝sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝sin160°16·sin20°＝116.(2)原式＝cos10°－3sin10°2sin10°·cos10°＝212cos10°－32sin10°sin20°＝2sin30°－10°sin20°＝2.(3)原式＝cos10°＋3sin10°－2sin50°2sin5°＝2sin40°－2sin50°2sin5°＝2sin40°－2cos40°2sin5°＝22sin40°－45°2sin5°＝－22sin5°2sin5°＝－2.命题点2给值求值例3(2023·长春质检)已知sinα－π3＋3cosα＝13，则sin2α＋π6等于()A.23B.29C．－19D．－79答案D解析∵sinα－π3＋3cosα＝13，∴sinαcosπ3－cosαsinπ3＋3cosα＝13，∴12sinα－32cosα＋3cosα＝13，∴12sinα＋32cosα＝13，∴cosα－π6＝13，∴sin2α＋π6＝sin2α－π6＋π2＝cos2α－π6＝2cos2α－π6－1＝2×132－1＝－79.命题点3给值求角例4已知sinα＝210，cosβ＝31010，且α，β为锐角，则α＋2β＝.答案π4公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析因为sinα＝210，且α为锐角，所以cosα＝1－sin2α＝1－2100＝7210，因为cosβ＝31010，且β为锐角，所以sinβ＝1－cos2β＝1－90100＝1010，那么sin2β＝2sinβcosβ＝2×1010×31010＝35，cos2β＝1－2sin2β＝1－2×10102＝45，所以cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝7210×45－210×35＝22，因为α∈0，π2，β∈0，π2，所以2β∈(0，π)．所以α＋2β∈0，3π2，故α＋2β＝π4.思维升华(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．(2)给值(角)求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值．跟踪训练2(1)已知α∈(0，π)，sin2α＋cos2α＝cosα－1，则sin2α等于()A.34B．－38C．－34或0D.38答案C解析∵sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝2cos2α－1，∴2sinαcosα＋2cos2α＝cosα，当cosα＝0时，等式成立，此时sin2α＝0；当cosα≠0时，sinα＋cosα＝12，两边平方得sin2α＝－34.综上可得，sin2α＝－34或0.(2)(2023·南京模拟)已知sin15°－α2＝tan210°，则sin(60°＋α)的值为()A.13B．－13C.23D．－23答案A公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析∵sin15°－α2＝tan210°，∴sin15°－α2＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝tan30°＝33，则cos215°－α2＝1－sin215°－α2＝23，cos(30°－α)＝cos215°－α2－sin215°－α2＝13，∴sin(60°＋α)＝sin[90°－(30°－α)]＝cos(30°－α)＝13.题型三三角恒等变换的综合应用例5已知f(x)＝sin2x－π3＋23sinx－π4·cosx＋3π4.(1)求fπ3的值；(2)若锐角α满足f(α)＝33，求sin2α的值．解(1)由题意得f(x)＝sin2x－π3＋23sinx－π4cosx＋3π4＝sin2x－π3－23sinx－π4cosπ－x＋3π4＝sin2x－π3－23sinx－π4cosx－π4＝sin2x－π3－3sin2x－π2＝sin2xcosπ3－cos2xsinπ3＋3cos2x＝12sin2x＋32cos2x＝sin2x＋π3，故fπ3＝sin2×π3＋π3＝0.(2)∵α∈0，π2，∴2α＋π3∈π3，4π3，又∵f(α)＝33，∴f(α)＝sin2α＋π3＝33，又∵sin2α＋π3＝3332，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴2α＋π3∈2π3，4π3，∴cos2α＋π3＝－1－332＝－63，∴sin2α＝sin2α＋π3－π3＝sin2α＋π3cosπ3－cos2α＋π3sinπ3＝33×12＋63×32＝3＋326.思维升华(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．跟踪训练3已知3sinα＝2sin2α2－1.(1)求sin2α＋cos2α的值；(2)已知α∈(0，π)，β∈π2，π，2tan2β－tanβ－1＝0，求α＋β的值．解(1)因为3sinα＝2sin2α2－1，所以3sinα＝－cosα，所以tanα＝－13，又因为sin2α＋cos2α＝2sinαcosα＋cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝2tanα＋1－tan2α1＋tan2α，所以sin2α＋cos2α＝2×－13＋1－191＋19＝15.(2)因为β∈π2，π，所以tanβ0，因为2tan2β－tanβ－1＝(2tanβ＋1)(tanβ－1)＝0，所以tanβ＝－12，又因为α∈(0，π)，tanα＝－13，所以π2απ.所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－13－121－16＝－1，由π2βπ，π2απ，得πα＋β2π，所以α＋β＝7π4.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君课时精练1．已知x∈