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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 §4.8 正弦定理、余弦定理
公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君§4.8正弦定理、余弦定理考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正弦定理、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容asinA=bsinB=csinC=2Ra2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC变形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R;(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCcosA=b2+c2-a22bc;cosB=c2+a2-b22ac;cosC=a2+b2-c22ab2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S=12aha(ha表示边a上的高);公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君(2)S=12absinC=12acsinB=12bcsinA;(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).常用结论在△ABC中,常有以下结论:(1)∠A+∠B+∠C=π.(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(3)ab⇔AB⇔sinAsinB,cosAcosB.(4)sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC;sinA+B2=cosC2;cosA+B2=sinC2.(5)三角形中的射影定理在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.(6)三角形中的面积S=pp-ap-bp-cp=12a+b+c.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(×)(2)在△ABC中,若sinAsinB,则AB.(√)(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.(×)(4)当b2+c2-a20时,△ABC为锐角三角形.(×)教材改编题1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC等于()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理得cos∠BAC=b2+c2-a22bc=9+25-4930=-12,因为∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=2π3.2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为4,a=2,B=30°,则c等于()公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君A.8B.4C.833D.433答案A解析由S△ABC=12acsinB=12×2c×12=4,得c=8.3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=30°,b=2,c=2,则C=.答案45°或135°解析由正弦定理得sinC=csinBb=2sin30°2=22,因为cb,B=30°,所以C=45°或C=135°.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.(1)若C=2π3,求B;[切入点:二倍角公式化简](2)求a2+b2c2的最小值.[关键点:找到角B与角C,A的关系]公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君思维升华解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理,以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.跟踪训练1(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)证明:2a2=b2+c2;(2)若a=5,cosA=2531,求△ABC的周长.(1)证明方法一由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),可得sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinCcosA-sinBcosCsinA,结合正弦定理asinA=bsinB=csinC,可得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君即accosB+abcosC=2bccosA(*).由余弦定理可得accosB=a2+c2-b22,abcosC=a2+b2-c22,2bccosA=b2+c2-a2,将上述三式代入(*)式整理,得2a2=b2+c2.方法二因为A+B+C=π,所以sinCsin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)=sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A(1-sin2B)-(1-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B,同理有sinBsin(C-A)=sin(C+A)sin(C-A)=sin2C-sin2A.又sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),所以sin2A-sin2B=sin2C-sin2A,即2sin2A=sin2B+sin2C,故由正弦定理可得2a2=b2+c2.(2)解由(1)及a2=b2+c2-2bccosA得,a2=2bccosA,所以2bc=31.因为b2+c2=2a2=50,所以(b+c)2=b2+c2+2bc=81,得b+c=9,所以△ABC的周长l=a+b+c=14.题型二正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1三角形的形状判断例2(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D解析因为c-acosB=(2a-b)cosA,C=π-(A+B),公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君所以由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,所以sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,所以cosA(sinB-sinA)=0,所以cosA=0或sinB=sinA,所以A=π2或B=A或B=π-A(舍去),所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.(2)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,c-a2c=sin2B2,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案A解析由cosB=1-2sin2B2,得sin2B2=1-cosB2,所以c-a2c=1-cosB2,即cosB=ac.方法一由余弦定理得a2+c2-b22ac=ac,即a2+c2-b2=2a2,所以a2+b2=c2.所以△ABC为直角三角形,但无法判断两直角边是否相等.方法二由正弦定理得cosB=sinAsinC,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,即sinBcosC=0,又sinB≠0,所以cosC=0,又角C为△ABC的内角,所以C=π2,所以△ABC为直角三角形,但无法判断两直角边是否相等.延伸探究将本例(2)中的条件“c-a2c=sin2B2”改为“sinAsinB=ac,(b+c+a)(b+c-a)=3bc”,试判断△ABC的形状.公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君解因为sinAsinB=ac,所以由正弦定理得ab=ac,所以b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以b2+c2-a2=bc,所以由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.因为A∈(0,π),所以A=π3,所以△ABC是等边三角形.思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.命题点2三角形的面积例3(2022·浙江)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=5c,cosC=35.(1)求sinA的值;(2)若b=11,求△ABC的面积.解(1)由正弦定理asinA=csinC,得sinA=a·sinCc.因为cosC=35,所以sinC=45,又ac=54,所以sinA=5sinC4=55.(2)由(1)知sinA=55,因为a=5c4c,所以0Aπ2,所以cosA=255,所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=55×35+45×255=11525.因为bsinB=csinC,即1111525=c45,所以c=45,公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君所以S△ABC=12bcsinA=12×11×45×55=22.思维升华三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S=12absinC=12acsinB=12bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.命题点3与平面几何有关的问题例4(2023·厦门模拟)如图,已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b(1+cosC)=3csin∠ABC且△ABC的外接圆面积为49π3.(1)求边c的长;(2)若a=5,延长CB至M,使得cos∠AMC=217,求BM.解(1)设△ABC的外接圆半径为R,由题意πR2=49π3,解得R=733.由题意及正弦定理可得sin∠ABC(1+cosC)=3sinCsin∠ABC,因为sin∠ABC≠0,所以1+cosC=3sinC,即2sinC-π6=1,因为0Cπ,所以C-π6∈-π6,5π6,故C-π6=π6,即C=π3.故c=2RsinC=2×733×32=7.(2)因为a=5,c=7,C=π3,故cosC=12=25+b2-492×5×b,得b2-5b-24=0,解得b=8(b=-3舍去).在△ABC中,由余弦定理可得cos∠ABC=52+72-822×5×7=17,所以sin∠ABC=437.由cos∠AMC=217得sin∠AMC=277.故sin∠BAM=sin(∠ABC-∠AMC)公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君=sin∠ABCcos∠AMC-cos∠ABCsin∠AMC=10749,在△ABM中,由正弦定理可得BMsin∠BAM=ABsin∠AMB,则BM=7277×10749=5.思维升华在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时,通常是转化到三角形中,利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时,常先引入变量,如边长、角度等,然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来,再利用正、余弦定理列出方程,再解方程即可.若研究最值,常使用函数思想.跟踪训练2(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的是()A.若acosA=bcosB,则△ABC一定是等腰三角形B.若bcosC+ccosB=b,则△ABC是等腰三角形C.若acosA=bcosB=ccosC,则△ABC一定是等边三角形D.若B=60°,b2=ac,则△ABC是直角三角形答案BC解析对于A,若acosA=bcosB,则由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,则2A=2B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,则△ABC为等腰三角形或直角三角形,故A错误;对于B,若bcosC+ccosB=b,则由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sinB,即A=B,则△ABC是等腰三角形,
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