2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　必刷小题8　解三角形

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君必刷小题8解三角形一、单项选择题1．(2023·重庆模拟)在△ABC中，sinA＝255，AC＝5，B＝45°，则BC等于()A．25B.2C．23D．22答案D解析由正弦定理知，BCsinA＝ACsinB，∴BC＝ACsinAsinB＝5×25522＝22.2．(2023·南昌模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝2，△ABC的面积为2sinB，则cosA等于()A.13B.23C.74D.34答案D解析因为b＝3，c＝2，△ABC的面积为2sinB，所以S△ABC＝12acsinB＝2sinB，所以a＝2，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝34.3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asinA＋b(sinB＋3sinA)＝csinC，则C等于()A．30°B．60°C．120°D．150°答案D解析因为asinA＋b(sinB＋3sinA)＝csinC，所以由正弦定理得a2＋b(b＋3a)＝c2，化简得a2＋b2－c2＝－3ab，所以由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝－3ab2ab＝－32，因为C∈(0，π)，所以C＝150°.4．(2023·郑州模拟)2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单．某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场A地测得纪念塔顶D的仰角为45°，乙同学在二七广场B地测得纪念塔顶D的仰角为30°，塔底为C(A，B，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君C在同一水平面上，DC⊥平面ABC)，测得AB＝63m，∠ACB＝30°，则纪念塔的高CD为()A．40mB．63mC．403mD．633m答案B解析如图所示，∠DAC＝45°，∠CBD＝30°，∠ACB＝30°，设塔高CD为t，因为DC⊥平面ABC，所以DC⊥CA，DC⊥CB，所以AC＝t，BC＝3t，又AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即632＝t2＋3t2－2×3t×t×32，解得t＝63m.5．(2022·南宁模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b2＋c2＝a2＋bc，则△ABC外接圆的面积是()A.π3B.4π3C．2πD．4π答案B解析因为b2＋c2＝a2＋bc，所以b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，所以sinA＝32，设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2R＝asinA＝433，所以R＝233，所以△ABC外接圆的面积是πR2＝4π3.6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，tanA＝ab，且B为钝角．则sinA＋sinC的取值范围是()A.22，98B.34，54C.98，97D.0，34公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案A解析由tanA＝ab以及正弦定理得sinAcosA＝ab＝sinAsinB，所以sinB＝cosA，即sinB＝sinπ2＋A，又B为钝角，所以π2＋A∈π2，π，故B＝π2＋A，C＝π－(A＋B)＝π2－2A0⇒A∈0，π4，于是sinA＋sinC＝sinA＋sinπ2－2A＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－2sinA－142＋98，因为A∈0，π4，所以0sinA22，由此22－2sinA－142＋98≤98，即sinA＋sinC的取值范围是22，98.7．(2022·洛阳模拟)已知在△ABC中，AB＝5，AC＝4，则当函数f(A)＝sinA＋π6＋3cosA＋π6－cos2A取得最大值时，BC等于()A．4B.21C.41D．214答案B解析f(A)＝212sinA＋π6＋32cosA＋π6－cos2A＝2sinA＋π6＋π3－cos2A＝2cosA－(2cos2A－1)＝－2cos2A＋2cosA＋1，当cosA＝12，即A＝π3时，f(A)max＝32，∴BC2＝52＋42－2×5×4×12＝21，∴BC＝21.8．(2022·吉安模拟)在△ABC中，AB＝BC，点D是边AB的中点，△ABC的面积为49，则线段CD的取值范围是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C.63，＋∞D.0，63答案C解析设AB＝BC＝t，CD＝m，所以S△ABC＝12t2sinB＝49，即t2sinB＝89，①在△BCD中，由余弦定理得m2＝t2＋t22－2t·t2·cosB，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君即t2cosB＝54t2－m2，②由①②得t4＝54t2－m22＋6481，即9t4－40m2t2＋16m4＋102481＝0，令t2＝x0，设g(x)＝9x2－40m2x＋16m4＋102481，则方程g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，所以g20m29＝920m292－40m2×20m29＋16m4＋102481≤0，解得m4≥49，即m≥63.二、多项选择题9．(2022·福州模拟)下列对△ABC解的个数的判断中正确的是()A．a＝7，b＝14，A＝30°，有一解B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解C．a＝3，b＝6，A＝60°，有一解D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解答案AB解析选项A，bsinA＝14sin30°＝7＝a，则三角形有一解，判断正确；选项B，bsinA＝25sin150°＝252，则abbsinA，则三角形有一解，判断正确；选项C，bsinA＝6sin60°＝322，则absinA，则三角形无解，判断错误；选项D，bsinA＝9sin45°＝922，则absinA，则三角形无解，判断错误．10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2asinA＋a2－b2－c2bsinB＝0，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形答案AD解析a2＋c2－b2asinA＋a2－b2－c2bsinB＝0，变形得a2＋c2－b2asinA＝b2＋c2－a2bsinB，结合余弦定理得2accosBasinA＝2bccosAbsinB，因为c≠0，所以sinBcosB＝sinAcosA，即sin2A＝sin2B.因为A，B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．11．(2023·宁波模拟)已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3ccosA＋asinC＝0，若角A的角平分线交BC于D点，且AD＝1，则下列结论正确的是()A．A＝2π3B．A＝π3C．b＋c的最小值为2D．b＋c的最小值为4答案AD解析由3ccosA＋asinC＝0及正弦定理，得3sinCcosA＋sinAsinC＝0，因为C∈(0，π)，sinC≠0，所以3cosA＋sinA＝0，即tanA＝－3，因为A∈(0，π)，所以A＝2π3，故A正确；S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以12bc·sin2π3＝12c·1·sinπ3＋12b·1·sinπ3，所以bc＝b＋c，即1b＋1c＝1，所以b＋c＝(b＋c)1b＋1c＝2＋bc＋cb≥2＋2bc×cb＝4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，所以b＋c的最小值为4，故D正确．12．(2023·南昌模拟)已知O是△ABC的外心，若|AC||AB|·AB→·AO→＋|AB||AC|AC→·AO→＝2mAO→2，且2sinB＋sinC＝3，则实数m可取的值为()A.34B.35C.45D．1答案AB解析设△ABC的外接圆半径为R，因为O是△ABC的外心，故可得|AO|＝R，且AB→·AO→＝12|AB→|2＝12c2，AC→·AO→＝12|AC→|2＝12b2，故|AC||AB|AB→·AO→＋|AB||AC|AC→·AO→＝2mAO→2，即12|AB|·|AC|＋12|AB|·|AC|＝2mR2，也即bc＝2mR2，则m＝bc2R2，又2sinB＋sinC＝3，由正弦定理可得2b＋c＝23R，则R2＝2b＋c212，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君故m＝6bc4b2＋c2＋4bc＝64bc＋cb＋4≤624bc·cb＋4＝34，当且仅当4bc＝cb，即c＝2b时，m取得最大值34，故结合选项知m可取的值为34或35.三、填空题13．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c＝3，3tanAtanB＝3＋tanA＋tanB，则a2＋b2的取值范围为________．答案(5,6]解析方法一由3tanAtanB＝3＋tanA＋tanB，得tanA＋tanB＝3(tanAtanB－1)，则tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，即tan(A＋B)＝－3，∴tanC＝3.又0Cπ2，∴C＝π3，∴A＋B＝2π3.又∵0Aπ2，0Bπ2，∴π6Aπ2.由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC＝332＝2，∴a2＋b2＝(2sinA)2＋(2sinB)2＝4sin2A＋sin22π3－A＝41－cos2A2＋1－cos4π3－2A2＝41－1212cos2A－32sin2A＝41＋12sin2A－π6.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君又∵π6Aπ2，∴π62A－π65π6，∴12sin2A－π6≤1，∴5a2＋b2≤6，即a2＋b2的取值范围为(5,6]．方法二由3tanAtanB＝3＋tanA＋tanB，得tanA＋tanB＝3(tanAtanB－1)，则tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，即tan(A＋B)＝－3，∴tanC＝3.又0Cπ2，∴C＝π3.设A＝π3－α，B＝π3＋α.∵0π3－απ2，0π3＋απ2，∴－π6απ6.由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC＝332＝2，∴a2＋b2＝(2sinA)2＋(2sinB)2＝4sin2π3－α＋sin2π3＋α＝41－cos2π3－2α2＋1－cos2π3＋2α2＝41－12×2cos2π3cos2α＝4＋2cos2α.∵－π6απ6，∴－π32απ3，∴12cos2α≤1，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴5a2＋b2≤6，即a2＋b2的取值范围为(5,6]．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2C＝sin2A＋cos2B－sinAsinC，且b＝6，则B＝________，△ABC外接圆的面积为________．答案π312π解析由cos2C＝sin2A＋cos2B－sinAsinC，可得1－sin2C＝sin2A＋1－sin2B－sinAsinC，即sin2A＋sin2C－sin2B＝sinAsinC，则由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2，由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，又因为B∈(0，π)，可得B＝π3，所以△ABC外接圆的半径R＝b2sinB＝23，所以△ABC外接圆的面积为πR2＝12π.15．(2023·临汾模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足5a2＋3b2＝3c2，则tanA的最大值为________．答案34解析∵5a2＋3b2＝3c2，∴a2＝3c2－3b25，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－3c2－3b252bc＝c2＋4b25bc≥24c2b25bc＝45，当且仅当c2＝4b2，即c＝2b时等号成立，又A∈(0，π)，∴cosA∈45，1，cos2A∈162