2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第5章　§5.1　平面向量的概念及线性运算

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§5.1平面向量的概念及线性运算考试要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ0时，λa的方向与a的方向相同；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2—→＋A2A3—→＋A3A4—→＋…＋An－1An———→＝A1An—→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OF→＝12(OA→＋OB→)．3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则PA→＋PB→＋PC→＝0⇔P为△ABC的重心，AP→＝13(AB→＋AC→)．4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．(√)(2)若向量a与b同向，且|a||b|，则ab.(×)(3)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(√)教材改编题1．(多选)下列命题正确的是()A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若a，b都为非零向量，则使a|a|＋b|b|＝0成立的条件是a与b反向共线D．若a＝b，b＝c，则a＝c答案BCD解析A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C项，因为a|a|与b|b|都是单位向量，所以只有当a|a|与b|b|是相反向量，即a与b是反向共线时才成立，故C正确；D项，由向量相等的定义知D正确．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君2．下列各式化简结果正确的是()A.AB→＋AC→＝BC→B.AM→＋MB→＋BO→＋OM→＝AM→C.AB→＋BC→－AC→＝0D.AB→－AD→－DC→＝BC→答案B3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.答案－13解析由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以λ＝－k，1＝3k，解得k＝13，λ＝－13.题型一平面向量的基本概念例1(1)(多选)下列说法中正确的是()A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b|答案CD解析对于A，单位向量方向不同时并不相等，A错误；对于B，0的相反向量为0，B错误；对于C，|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关，C正确；对于D，相反向量是长度相等，方向相反的向量，D正确．(2)(2023·福州模拟)如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和FC→相等的是()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A.EF→B.FB→C.DF→D.ED→答案D解析∵EF→，FB→，DF→与FC→方向不同，∴EF→，FB→，DF→与FC→均不相等；∵ED→与FC→方向相同，长度相等，∴ED→＝FC→.思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)a|a|是与a同方向的单位向量．跟踪训练1(1)(多选)下列命题中正确的是()A．向量AB→的长度与向量BA→的长度相等B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同D．两个终点相同的向量，一定是共线向量答案AC解析对于A，向量AB→与向量BA→的长度相等，方向相反，故A正确；对于B，向量a与b平行，且a或b为零向量时，不满足条件，故B错误；对于C，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故C正确；对于D，两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D错误．(2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与BC→相等的向量为()A.BA→B.CD→C.AD→D.OD→答案D解析A，B选项均与BC→方向不同，C选项与BC→长度不相等，D选项与BC→方向相同，长度相等．题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例2(2022·济南模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2023，则|e1＋e2＋…＋e2023|的最大值是公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君________，最小值是________．答案20230解析当单位向量e1，e2，…，e2023方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2023|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2023|＝2023；当单位向量e1，e2，…，e2023首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2023＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2023|的最小值为0.命题点2向量的线性运算例3(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA→＝m，CD→＝n，则CB→等于()A．3m－2nB．－2m＋3nC．3m＋2nD．2m＋3n答案B解析因为BD＝2DA，所以AB→＝3AD→，所以CB→＝CA→＋AB→＝CA→＋3AD→＝CA→＋3(CD→－CA→)＝－2CA→＋3CD→＝－2m＋3n.故选B.命题点3根据向量线性运算求参数例4(2023·大连模拟)在△ABC中，AD→＝2DB→，AE→＝2EC→，P为线段DE上的动点，若AP→＝λAB→＋μAC→，λ，μ∈R，则λ＋μ等于()A．1B.23C.32D．2答案B解析如图所示，由题意知，AE→＝23AC→，AD→＝23AB→，设DP→＝xDE→，所以AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋xDE→＝AD→＋x(AE→－AD→)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君＝xAE→＋(1－x)AD→＝23xAC→＋23(1－x)AB→，所以μ＝23x，λ＝23(1－x)，所以λ＋μ＝23x＋23(1－x)＝23.思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练2(1)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗．如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是()A.CH→＋ID→＝0B.AB→∥FE→C.AF→＋FG→＝2HG→D.AF→＝AB→＋AJ→答案D解析A项，由图可知CH与ID相交，所以CH→与ID→不是相反向量，故A错误；B项，AB→与DE→共线，DE→与FE→不共线，所以AB→与FE→不共线，故B错误；C项，AF→＋FG→＝AG→≠2HG→，故C错误；D项，连接BF，JF，由五角星的性质可得四边形ABFJ为平行四边形，根据平行四边形法则可得AF→＝AB→＋AJ→，故D正确．(2)P是△ABC所在平面上一点，满足PA→＋PB→＋PC→＝2AB→，△ABC的面积是S1，△PAB的面积是S2，则()A．S1＝4S2B．S1＝3S2C．S1＝2S2D．S1＝S2公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案B解析∵PA→＋PB→＋PC→＝2AB→＝2(AP→＋PB→)，∴3AP→＝BC→，∴AP→∥BC→并且方向一样，设AP与BC的距离为h，∵S△PAB＝12|AP→|·h，S△ABC＝12|BC→|·h，又∵|BC→|＝3|AP→|，∴S△PAB＝13S△ABC，S1＝3S2.(3)在△ABC中，P是BC上一点，若BP→＝2PC→，AP→＝λAB→＋μAC→，则2λ＋μ＝________.答案43解析在△ABC中，BP→＝2PC→，则AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(AC→－AB→)＝13AB→＋23AC→，又AP→＝λAB→＋μAC→，且AB→，AC→不共线，则λ＝13，μ＝23，所以2λ＋μ＝43.题型三共线定理及其应用例5已知O，A，B是不共线的三点，且OP→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明(1)若m＋n＝1，则OP→＝mOA→＋(1－m)OB→，OP→＝[m＋(1－m)]OP→，故mOP→＋(1－m)OP→＝mOA→＋(1－m)OB→，即m(OP→－OA→)＝(1－m)(OB→－OP→)，mAP→＝(1－m)PB→，即AP→，PB→共线，又AP→，PB→有公共点P，则A，P，B三点共线．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得AP→＝λPB→，变形得OP→－OA→＝λ(OB→－OP→)，即(1＋λ)OP→＝λOB→＋OA→，OP→＝λOB→＋OA→1＋λ＝λOB→1＋λ＋OA→1＋λ，又OP→＝mOA→＋nOB→，λ1＋λ＋11＋λ＝1，故m＋n＝1.思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(3)若OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.跟踪训练3(1)若a，b是两个不共线的向量，已知MN→＝a－2b，PN→＝2a＋kb，PQ→＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k等于()A．－1B．1C.32D．2答案B解析由题意知，NQ→＝PQ→－PN→＝a－(k＋1)b，因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，使得MN→＝λNQ→，即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，整理得(1－λ)a＝[2－λ(k＋1)]b，因为向量a，b不共线，∴1－λ＝0，2－λk＋1＝0，解得λ＝1，k＝1.(2)如图，△ABC中，点M是BC的中点，点N满足AN→＝23AB→，AM与CN交于点D，AD→＝λAM→，则λ等于()A.23B.34C.45D.56答案C解析在△ABC中，因为点M是BC的中点，所以AM→＝12AB→＋12AC→，则AD→＝λAM→＝λ2AB→＋λ2AC→，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君又AN→＝23AB→，于是得AD→＝3λ4AN→＋λ2AC→，因为点C，D，N共线，则有3λ4＋λ2＝1，解得λ＝45.课时精练1．化简2(a－3b)－3(a＋b)的结果为()A．a＋4bB．－a－9bC．2a＋bD．a－3b答案B解析2(a－3b)－3(a＋b)＝2a－6b－3a－3b＝－a－9b.2．(多选)下列命题中，正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．在△ABC中，AB→＋BC→＋CA→＝0C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同答案BC解析对于A选项，0平行于任何向量，若b＝0，满足a∥b，b∥c，但不一