2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第5章　§5.4　平面向量的综合应用[培优课]

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§5.4平面向量的综合应用题型一平面向量在几何中的应用例1(1)如图，在△ABC中，cos∠BAC＝14，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝152，则△ABC的面积的最大值为________．答案15解析设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为BD＝3DC，AD→＝14AB→＋34AC→，又AD＝152，cos∠BAC＝14，所以AD→2＝14AB→＋34AC→2＝116c2＋916b2＋38bccos∠BAC＝116c2＋916b2＋332bc，又154＝116c2＋916b2＋332bc＝14c2＋34b2＋332bc≥2×14c×34b＋332bc＝1532bc，当且仅当c＝3b时，等号成立．所以bc≤8，又sin∠BAC＝154，所以S△ABC＝12bcsin∠BAC≤12×8×154＝15.(2)(2022·天津)在△ABC中，CA→＝a，CB→＝b，D是AC的中点，CB→＝2BE→，试用a，b表示DE→为________，若AB→⊥DE→，则∠ACB的最大值为________．答案32b－12aπ6解析DE→＝CE→－CD→＝32b－12a，AB→＝CB→－CA→＝b－a，由AB→⊥DE→得(3b－a)·(b－a)＝0，即3b2＋a2＝4a·b，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以cos∠ACB＝a·b|a||b|＝3b2＋a24|a||b|≥23|a||b|4|a||b|＝32，当且仅当|a|＝3|b|时取等号，而0∠ACBπ，所以∠ACB∈0，π6.思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→计算解决向量问题――→还原解决几何问题．跟踪训练1(1)在△ABC中，已知AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则△ABC为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形答案A解析AB→|AB→|，AC→|AC→|分别表示AB→，AC→方向上的单位向量，AB→|AB→|＋AC→|AC→|在∠A的角平分线上，∵AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，∴|AB→|＝|AC→|，又AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，∴cos〈AB→，AC→〉＝AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则AB→与AC→的夹角为60°，即∠BAC＝60°，可得△ABC是等边三角形．(2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足CD→＝2DB→，AD＝37，则BC的长为()A．37B．36C．33D．6公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案A解析因为CD→＝2DB→，所以AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→，设AB＝x，则AD→2＝23AB→＋13AC→2，得37＝49x2＋49×x×9cos60°＋19×92，即2x2＋9x－126＝0，因为x0，故解得x＝6，即AB＝6，所以|BC→|＝|AC→－AB→|＝|AB→|2＋|AC→|2－2|AB→|·|AC→|cos60°＝62＋92－2×6×9×12＝37.题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2如图，在△ABC中，点P满足2BP→＝PC→，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若AM→＝xAB→，AN→＝yAC→(x0，y0)，则2x＋y的最小值为()A．3B．32C．1D.13答案A解析由题意知，AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋BC→3＝AB→＋AC→－AB→3＝2AB→3＋AC→3，又AM→＝xAB→，AN→＝yAC→(x0，y0)，∴AP→＝2AM→3x＋AN→3y，由M，P，N三点共线，得23x＋13y＝1，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴2x＋y＝(2x＋y)23x＋13y＝53＋2x3y＋2y3x≥53＋22x3y·2y3x＝3，当且仅当x＝y时等号成立．故2x＋y的最小值为3.命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3已知在边长为2的正△ABC中，M，N分别为边BC，AC上的动点，且CN＝BM，则AM→·MN→的最大值为________．答案－43解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，3)，则BC→＝(2,0)，CA→＝(－1，3)，设BM→＝tBC→(0≤t≤1)，则CN→＝tCA→(0≤t≤1)，则M(2t－1,0)，N(1－t，3t)，∴AM→＝(2t－1，－3)，MN→＝(2－3t，3t)，∴AM→·MN→＝(2t－1)×(2－3t)＋(－3)×(3t)＝－6t2＋4t－2＝－6t－132－43，当t＝13时，AM→·MN→取得最大值－43.命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A．[2－1，2＋1]B．[2－1，2]C．[2，2＋1]D．[2－2，2＋2]答案A解析a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝x－12＋y－12＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故12＋12－1≤|c|≤12＋12＋1，∴2－1≤|c|≤2＋1.思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．跟踪训练2(1)已知平行四边形ABCD的面积为93，∠BAD＝2π3，E为线段BC的中点．若F为线段DE上的一点，且AF→＝λAB→＋56AD→，则|AF→|的最小值为()A.11B．3C.7D.5答案D解析设|AB→|＝x，|AD→|＝y，则S＝x·y·sin2π3＝32xy＝93，∴xy＝18.∵AF→＝λAB→＋56AD→＝λ(AE→＋EB→)＋56AD→＝λAE→＋56－λ2AD→，∵E，F，D三点共线，∴λ＋56－λ2＝1⇒λ＝13，∴AF→＝13AB→＋56AD→，∴|AF→|2＝19|AB→|2＋59AB→·AD→＋2536|AD→|2＝19x2＋59xy·－12＋2536y2≥－5＋219·2536·x2·y2＝5，当且仅当x＝52y时，等号成立．∴|AF→|的最小值为5.(2)(2023·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|AP→－AB→－AC→|＝1，则|AP→|的最小值为()A.3－1B．22－1C．23－1D.7－1答案C解析因为|AB→＋AC→|2＝AB→2＋AC→2＋2AB→·AC→＝|AB→|2＋|AC→|2＋2|AB→|·|AC→|cosπ3＝12，所以|AB→＋AC→|＝23，由平面向量模的三角不等式可得|AP→|＝|(AP→－AB→－AC→)＋(AB→＋AC→)|≥||AP→－AB→－AC→|－|AB→＋AC→||＝23－1.当且仅当AP→－AB→－AC→与AB→＋AC→方向相反时，等号成立．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君因此|AP→|的最小值为23－1.(3)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则PA→·PB→的取值范围是()A．[－5,3]B．[－3,5]C．[－6,4]D．[－4,6]答案D解析以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3,0)，B(0,4)．设P(x，y)，则x2＋y2＝1，PA→＝(3－x，－y)，PB→＝(－x,4－y)，所以PA→·PB→＝x2－3x＋y2－4y＝x－322＋(y－2)2－254.又x－322＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点32，2距离的平方，圆心(0,0)到点32，2的距离为52，所以PA→·PB→∈52－12－254，52＋12－254，即PA→·PB→∈[－4,6]，故选D.课时精练1．四边形ABCD中，AD→＝BC→，(AB→＋AD→)·(AB→－AD→)＝0，则这个四边形是()A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形答案A解析由题意，AD→＝BC→，即|AD|＝|BC|且AD∥BC，故四边形ABCD为平行四边形，又(AB→＋AD→)·(AB→－AD→)＝AC→·DB→＝0，故AC⊥BD即四边形ABCD为菱形．2．(多选)如图，点A，B在圆C上，则AB→·AC→的值()A．与圆C的半径有关B．与圆C的半径无关公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君C．与弦AB的长度有关D．与点A，B的位置有关答案BC解析如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，故AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cos∠CAD＝|AB→|·|AC→|·12|AB→||AC→|＝12|AB→|2，故AB→·AC→的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关．3.如图，在△ABC中，BD→＝23BC→，E为线段AD上的动点，且CE→＝xCA→＋yCB→，则1x＋3y的最小值为()A．8B．9C．12D．16答案D解析由已知得CB→＝3CD→，∴CE→＝xCA→＋yCB→＝xCA→＋3yCD→，∵E为线段AD上的动点，∴A，D，E三点共线，∴x＋3y＝1且x0，y0，∴1x＋3y＝1x＋3y(x＋3y)＝10＋3yx＋3xy≥10＋23yx·3xy＝16，当且仅当x＝y＝14时，等号成立．故1x＋3y的最小值为16.4．在△ABC中，A＝π3，G为△ABC的重心，若AG→·AB→＝AG→·AC→＝6，则△ABC外接圆的半径为()A.3B.433C．2D．23答案C公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析由AG→·AB→＝AG→·AC→，可得AG→·(AB→－AC→)＝AG→·CB→＝0，则有AG⊥BC，又在△ABC中，A＝π3，G为△ABC的重心，则△ABC为等边三角形．则AG→·AB→＝23×12(AB→＋AC→)·AB→＝13|AB→|2＋|AB→|2cosπ3＝12|AB→|2＝6，解得|AB→|＝23，则△ABC外接圆的半径为12×|AB→|sinπ3＝12×2332＝2.5．在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AB⊥AD，点P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则(PA→＋PC→)·PB→的最小值是()A．－58B．－12C．－38D．－14答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，所以PB→＝(1－x，－y)，PA→＋PC→＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)，故(PA→＋PC→)·PB→＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2x－342＋2y－122－58，所以当x＝34，y＝12时，(PA→＋PC→)·PB→取得最小值－58.6．设向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c·(a＋b－c)＝0，则|c|的最大值等于()A．1B．2C．1＋52D.5答案D解析向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，不妨设a＝(1,0)，b＝(0,2)，c＝(x，y)，∵c·(a＋b－c)＝0，∴(x，y)·(1－x,2－y)＝x(1－x)＋y(2－y)＝0，即x2＋y2－x－2y＝0，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君整理可得x－122＋(y－1)2＝54，则|c|表示圆心为12，1，半径为52的圆上的点到原点的距离，则|c|的最大值为