2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第5章　§5.5　复　数

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§5.5复数考试要求1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数z的实部，b是复数z的虚部，i为虚数单位．(2)复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数b＝0，虚数b≠0当a＝0时为纯虚数.(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量OZ→.3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ→＝OZ1—→＋OZ2—→，Z1Z2—→＝OZ2—→－OZ1—→.常用结论1．(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．5．复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)复数z＝a－bi(a，b∈R)中，虚部为b.(×)(2)复数可以比较大小．(×)(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(×)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)教材改编题1．已知复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，则在复平面内z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案A解析因为复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，所以z＝2＋3i1＋i＝2＋3i1－i1＋i1－i＝5＋i2＝52＋12i，所以在复平面内z对应的点位于第一象限．2．若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为________．答案－33．已知复数z满足(3＋4i)·z＝5(1－i)，则z的虚部是________．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案－75解析因为(3＋4i)·z＝5(1－i)，所以z＝51－i3＋4i＝51－i3－4i3＋4i3－4i＝53－7i＋4i232－4i2＝5－1－7i25＝－15－75i.所以z的虚部为－75.题型一复数的概念例1(1)(多选)(2023·潍坊模拟)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是()A．复数z的虚部为32B．1z＝12－32iC．z2＝z＋1D．复数z的共轭复数为－12＋32i答案AB解析设复数z＝a＋bi(a，b∈R)．因为|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，所以a2＋b2＝1，a－12＋b2＝1，a0，b0，解得a＝12，b＝32，即z＝12＋32i.对于A，复数z的虚部为32，故A正确；对于B，1z＝12－32i12＋32i12－32i＝12－32i，故B正确；对于C，因为z2＝12＋32i2＝－12＋32i≠z＋1，故C错误；对于D，复数z的共轭复数为12－32i，故D错误．(2)(2022·北京)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|等于()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．1B．5C．7D．25答案B解析方法一依题意可得z＝3－4ii＝3－4iii2＝－4－3i，所以|z|＝－42＋－32＝5，故选B.方法二依题意可得i2·z＝(3－4i)i，所以z＝－4－3i，则|z|＝－42＋－32＝5，故选B.(3)(2022·泰安模拟)已知复数z满足z＋iz＝i，则z＝________.答案12＋12i解析由z＋iz＝i，得z＋i＝zi，∴z＝－i1－i＝－i1＋i1－i1＋i＝1－i2＝12－i2.则z＝12＋12i.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．跟踪训练1(1)(2023·淄博模拟)若复数z＝2＋ia＋i的实部与虚部相等，则实数a的值为()A．－3B．－1C．1D．3答案A解析z＝2＋ia＋i＝2＋ia－ia＋ia－i＝2a＋1＋a－2ia2＋1，因为复数z＝2＋ia＋i的实部与虚部相等，所以2a＋1＝a－2，解得a＝－3，故实数a的值为－3.(2)(2022·全国甲卷)若z＝1＋i，则|iz＋3z|等于()A．45B．42C．25D．22答案D解析因为z＝1＋i，所以iz＋3z＝i(1＋i)＋3(1－i)＝i－1＋3－3i＝2－2i，所以|iz＋3z|＝|2－2i|＝22＋－22＝22.故选D.(3)(2022·新高考全国Ⅰ)若i(1－z)＝1，则z＋z等于()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．－2B．－1C．1D．2答案D解析因为i(1－z)＝1，所以z＝1－1i＝1＋i，所以z＝1－i，所以z＋z＝(1＋i)＋(1－i)＝2.故选D.题型二复数的四则运算例2(1)(2022·全国甲卷)若z＝－1＋3i，则zzz－1等于()A．－1＋3iB．－1－3iC．－13＋33iD．－13－33i答案C解析zzz－1＝－1＋3i－1＋3i－1－3i－1＝－1＋3i3＝－13＋33i，故选C.(2)(多选)(2022·福州模拟)设复数z1，z2，z3满足z3≠0，且|z1|＝|z2|，则下列结论错误的是()A．z1＝±z2B．z21＝z22C．z1·z3＝z2·z3D．|z1·z3|＝|z2·z3|答案ABC解析取z1＝1－i，z2＝1＋i，显然满足|z1|＝|z2|＝2，但z1≠z2，z1≠－z2，故A错误；因为z21＝－2i，z22＝2i，故B错误；再取z3＝1，显然C错误．思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练2(1)(2022·新高考全国Ⅱ)(2＋2i)(1－2i)等于()A．－2＋4iB．－2－4iC．6＋2iD．6－2i答案D解析(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故选D.(2)(2023·济宁模拟)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则z的虚部为()A．1B．－1C．2D．－2答案B解析∵z·i3＝1－2i，∴－zi＝1－2i，∴z＝1－2i－i＝1－2ii－i2＝2＋i，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴z＝2－i，∴z的虚部为－1.题型三复数的几何意义例3(1)(2023·文昌模拟)棣莫弗公式(cosx＋isinx)n＝cosnx＋isinnx(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数cosπ6＋isinπ67在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析由已知得cosπ6＋isinπ67＝cos7π6＋isin7π6＝cosπ＋π6＋isinπ＋π6＝－cosπ6－isinπ6＝－32－12i，∴复数cosπ6＋isinπ67在复平面内所对应的点的坐标为－32，－12，位于第三象限．(2)在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为()A.π3B.2π3C.3π4D.5π6答案C解析∵z1＝i(－4＋3i)＝－3－4i，z2＝7＋i，∴OZ1—→＝(－3，－4)，OZ2—→＝(7,1)，∴OZ1—→·OZ2—→＝－21－4＝－25，∴cos∠Z1OZ2＝OZ1—→·OZ2—→|OZ1—→||OZ2—→|＝－255×52＝－22，又∠Z1OZ2∈[0，π]，∴∠Z1OZ2＝3π4.(3)设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是()A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±iB．若|z＋1|＝1，则点Z的集合为以(1,0)为圆心，1为半径的圆C．若1≤|z|≤2，则点Z的集合所构成的图形的面积为πD．若|z－1|＝|z＋i|，则点Z的集合中有且只有两个元素答案C解析若|z|＝1，则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数z公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君对应，故A错误；若|z＋1|＝1，则点Z的集合为以(－1,0)为圆心，1为半径的圆，故B错误；若1≤|z|≤2，则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和2为半径的两圆所夹的圆环，所以点Z的集合所构成的图形的面积为π×(2)2－π×12＝π，故C正确；若|z－1|＝|z＋i|，则点Z的集合是以点(1,0)，(0，－1)为端点的线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故D错误．思维升华由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．跟踪训练3(1)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析由z＝2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝－1＋i，故z在复平面内对应的点为(－1,1)，所以z在复平面内对应的点位于第二象限．(2)设复数z满足|z－1|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x－1)2＋y2＝4B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4D．x2＋(y＋1)2＝4答案A解析z在复平面内对应的点为(x，y)，则复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z－1|＝|(x－1)＋yi|＝2，由复数的模长公式可得(x－1)2＋y2＝4.(3)已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为()A．1B．2C.3D.5答案B解析设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足|z＋i|＝|z－i|，所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0，－1)和(0,1)的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，又|z＋1＋2i|表示点Z到点(－1，－2)的距离，所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(－1，－2)距离的最小值，所以|z＋1＋2i|的最小值为2.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君课时精练1．(2022·浙江)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则()A．a＝