2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第5章　必刷小题10　平面向量与复数

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君必刷小题10平面向量与复数一、单项选择题1．(2022·临沂模拟)设向量a＝(1，x)，b＝(x,9)，若a∥b，则x等于()A．－3B．0C．3D．3或－3答案D解析由a∥b，得9－x2＝0，所以x＝±3.2．(2023·长沙模拟)设z(1－2i)＝|3＋4i|，则z的共轭复数在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析因为z(1－2i)＝|3＋4i|＝32＋42＝5，所以z＝51－2i＝51＋2i1－2i1＋2i＝51＋2i5＝1＋2i，所以z的共轭复数为1－2i，它在复平面内对应的点(1，－2)在第四象限．3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于()A．4B．3C．2D．0答案B解析因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.4．(2022·聊城模拟)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析由题可知，|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝0⇒a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－11×2＝－12.∵〈a，b〉∈[0，π]，∴向量a与b的夹角为2π3.5.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n等于()A．0B．1C．2D．3公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案C解析如图，连接AO，由O为BC的中点可得，AO→＝12(AB→＋AC→)＝m2AM→＋n2AN→，∵M，O，N三点共线，∴m2＋n2＝1，即m＋n＝2.6．定义：|a×b|＝|a|·|b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于()A．8B．－8C．8或－8D．6答案A解析由已知可得cosθ＝a·b|a||b|＝－35，∵0≤θ≤π，∴sinθ＝1－cos2θ＝45，∴|a×b|＝|a|·|b|sinθ＝8.7．(2023·日照模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，且DE→＝3EF→，则AF→·BC→的值为()A．－112B.112C．1D．－8答案B解析如图所示，把△ABC放在直角坐标系中，由于△ABC的边长为1，故B(0,0)，C(1,0)，A12，32，∵点D，E分别是边AB，BC的中点，∴D14，34，E12，0，设F(x，y)，DE→＝14，－34，EF→＝x－12，y，∵DE→＝3EF→，∴14＝3x－12，－34＝3y⇒x＝712，y＝－312⇒F712，－312，AF→＝112，－7312，BC→＝(1,0)，AF→·BC→＝112.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君8．(2023·岳阳模拟)在一个边长为2的等边△ABC中，若点P是平面ABC内的任意一点，则PA→·PC→的最小值是()A．－52B．－43C．－1D．－34答案C解析如图，以AC为x轴，AC中点为原点建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则PA→＝(－1－x，－y)，PC→＝(1－x，－y)，∴PA→·PC→＝x2－1＋y2＝x2＋y2－1≥－1，当且仅当P在原点时，取等号．故PA→·PC→的最小值是－1.二、多项选择题9．(2022·潍坊模拟)若复数z1＝2＋3i，z2＝－1＋i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是()A.z1z2∈RB.z1·z2＝z1·z2C．若z1＋m(m∈R)是纯虚数，那么m＝－2D．若z1，z2在复平面内对应的向量分别为OA→，OB→(O为坐标原点)，则|AB→|＝5答案BC解析对于A，z1z2＝2＋3i－1＋i＝2＋3i－1－i－1＋i－1－i＝1－5i2＝12－52i，A错误；对于B，∵z1·z2＝(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i，∴z1·z2＝－5＋i；又z1·z2＝(2－3i)(－1－i)＝－5＋i，∴z1·z2＝z1·z2，B正确；对于C，∵z1＋m＝2＋m＋3i为纯虚数，∴m＋2＝0，解得m＝－2，C正确；对于D，由题意得OA→＝(2，－3)，OB→＝(－1，－1)，∴AB→＝OB→－OA→＝(－3,2)，∴|AB→|＝9＋4＝13，D错误．10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是()A．a与b的夹角为钝角公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君B．向量a在b上的投影向量为22bC．2m＋n＝4D．mn的最大值为2答案CD解析对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，则a·b＝2－1＝10，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，向量a在b上的投影向量为a·b|b|·b|b|＝12b，B错误；对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C正确；对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，得mn＝12(2m·n)≤122m＋n22＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正确．11．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心．下列四个选项中结论正确的是()A.GH→＝2OG→B.GA→＋GB→＋GC→＝0C．设BC边的中点为D，则有AH→＝3OD→D.OA→＝OB→＝OC→答案AB解析如图，对于A项，由题意得AG→＝2GD→，AH⊥BC，所以GH→＝2OG→，所以A选项正确；对于B项，设D为BC的中点，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君GB→＋GC→＝2GD→＝－GA→，所以GA→＋GB→＋GC→＝0，所以B选项正确；对于C项，因为D为BC的中点，G为△ABC的重心，所以AG→＝2GD→，GH→＝2OG→，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以AH→＝2OD→，故C选项错误；对于D项，向量OA→，OB→，OC→的模相等，方向不同，故D选项错误．12．(2023·潍坊模拟)已知向量OP→＝(1,2)，将OP→绕原点O旋转－30°，30°，60°到OP1—→，OP2—→，OP3—→的位置，则下列说法正确的是()A.OP1—→·OP3—→＝0B．|PP1—→|＝|PP2—→|C.OP→·OP3—→＝OP1—→·OP2—→D．点P1的坐标为3－12，1＋232答案ABC解析由题意作图如图所示，∵OP1—→⊥OP3—→，∴OP1—→·OP3—→＝0，故选项A正确；∵PP1与PP2所对的圆心角相等，∴|PP1—→|＝|PP2—→|，故选项B正确；∵OP→·OP3—→＝|OP→||OP3—→|cos60°＝52.OP1—→·OP2—→＝|OP1—→||OP2—→|cos60°＝52，故选项C正确；若点P1坐标为3－12，1＋232，则|OP1—→|＝3－122＋1＋2322≠5，故选项D错误．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君三、填空题13．设{e1，e2}为基底，已知向量AB→＝e1－ke2，CB→＝2e1－e2，CD→＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是________．答案2解析因为AB→＝e1－ke2，CB→＝2e1－e2，CD→＝3e1－3e2，所以BD→＝CD→－CB→＝e1－2e2，若A，B，D三点共线，则AB→∥BD→，所以存在实数λ使得AB→＝λBD→，故e1－ke2＝λ(e1－2e2)，所以λ＝1，k＝2.14．已知i是虚数单位，则i2021＋1＋i1－i2022＝________.答案2解析因为i2021＝i，1＋i1－i2022＝1＋i21－i1＋i2022＝1＋2i＋i222022＝i2022＝i2＝－1，所以i2021＋1＋i1－i2022＝|－1＋i|＝1＋1＝2.15.(2022·泰安模拟)如图，在四边形ABCD中，AB→＝3DC→，E为边BC的中点，若AE→＝λAB→＋μAD→，则λ＋μ＝________.答案76解析连接AC，如图所示，AE→＝12AB→＋12AC→＝12AB→＋12(AD→＋DC→)＝12AB→＋12AD→＋13AB→，所以AE→＝23AB→＋12AD→，则λ＋μ＝23＋12＝76.16．(2023·济宁模拟)等边△ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则PA→·PB→＋PB→·PC→的最大值为________．答案8公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析∵△ABC为等边三角形，其外接圆的半径为2，∴以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2,0)，B(－1，3)，C(－1，－3)，设P(2cosθ，2sinθ)，则PA→＝(2－2cosθ，－2sinθ)，PB→＝(－1－2cosθ，3－2sinθ)，PC→＝(－1－2cosθ，－3－2sinθ)，则PA→·PB→＋PB→·PC→＝(2－2cosθ)(－1－2cosθ)＋2sinθ(2sinθ－3)＋(2cosθ＋1)2＋(2sinθ－3)(2sinθ＋3)＝4＋2cosθ－23sinθ＝4＋4cosθ＋π3，∴0≤PA→·PB→＋PB→·PC→≤8，则PA→·PB→＋PB→·PC→的最大值为8.