2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第6章　§6.3　等比数列

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§6.3等比数列考试要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列有关的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1.(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.3．等比数列性质(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a2w，其中m，n，w∈N*.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和panqbn也是等比数列(b，p，q≠0)．(4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外)(5)若a10，q1或a10，0q1，则等比数列{an}递增．若a10，0q1或a10，q1，则等比数列{an}递减．常用结论1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．3．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，T2nTn，T3nT2n，…成等比数列．(2)若数列{an}的项数为2n，则S偶S奇＝q；若项数为2n＋1，则S奇－a1S偶＝q，或S偶S奇－an＝q.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(×)(2)当公比q1时，等比数列{an}为递增数列．(×)(3)等比数列中所有偶数项的符号相同．(√)(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(×)教材改编题1．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于()A．31B．32C．63D．64答案C解析根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________________．答案1,3,9或9,3,1解析设这三个数为aq，a，aq，则a＋aq＋aq＝13，a·aq·aq＝27，解得a＝3，q＝13或a＝3，q＝3，∴这三个数为1,3,9或9,3,1.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于()A．14B．12C．6D．3答案D解析方法一设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.由题意可得a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42，即a11＋q＋q2＝168，a1q1－q3＝42，解得a1＝96，q＝12，所以a6＝a1q5＝3，故选D.方法二设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.由题意可得S3＝168，a2－a5＝42，即a11－q31－q＝168，a1q1－q3＝42，解得a1＝96，q＝12，所以a6＝a1q5＝3，故选D.(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的2倍．设第二个音的频率为f1，第八个音的频率为f2.则f2f1等于()A.2B.82C.122D．4122答案A解析设第一个音的频率为a，相邻两个音之间的频率之比为q，那么an＝aqn－1，根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得a13＝2a＝aq12，即q＝1122，所以f2f1＝a8a2＝q6＝2.思维升华等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．跟踪训练1(1)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于()A．2B．3C．4D．5答案A解析∵S2＝3，S4＝15，∴q≠1，由题意，得a11－q21－q＝3，①a11－q41－q＝15，②②①得q2＝4，又q0，∴q＝2.(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是()A．插入的第8个数为34B．插入的第5个数是插入的第1个数的32倍C．M3D．N7答案D解析设该等比数列为{an}，公比为q，则a1＝1，a13＝2，故q12＝a13a1＝2.插入的第8个数为a9＝a1q8＝34，故A正确；插入的第5个数为a6＝a1q5，插入的第1个数为a2＝a1q，所以a6a2＝a1q5a1q＝q4＝32，故B正确；M＝a21－q111－q＝1221－122111－122＝－1－112112，要证M3，即证－1－1121123，即证1121214，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君即证541122，即证54122，而54123262成立，故C正确；N＝M＋3.因为6512(1.4)6(1.9)32，所以651122，所以1121215，所以－1－1121124，即M4，所以N＝M＋37，故D错误．题型二等比数列的判定与证明例2已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解选①②作为条件证明③：设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，因为{an}是等比数列，所以Aq－1q＝A2，解得q＝2，所以a2＝2a1.选①③作为条件证明②：因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以公比q＝2，所以Sn＝a11－2n1－2＝a1(2n－1)，即Sn＋a1＝a12n，因为Sn＋1＋a1Sn＋a1＝2，所以{Sn＋a1}是等比数列．选②③作为条件证明①：设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1，又因为an＋1an＝2(n≥2)，且a2＝2a1，所以{an}为等比数列．思维升华等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．跟踪训练2在数列{an}中，a2n＋1＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.(1)证明因为a2n＋1＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，即an＋1＋1an＋1＝an＋2＋1an＋1＋1.因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，所以a2＋1a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)知，an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，所以Sn＝31－2n1－2－n＝3·2n－n－3.题型三等比数列的性质例3(1)(2023·黄山模拟)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则a2a12a7的值为()A.13B．3C．±13D．±3答案B解析∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9，∴a10，a130，a1·a13＝a2·a12＝a27＝9，又数列{an}为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a7＝3，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴a2a12a7＝93＝3.(2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为______．答案24解析由题意可得S8－2S4＝6，可得S8－S4＝S4＋6，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，综上可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝S4＋62S4＝S4＋36S4＋12≥24，当且仅当S4＝6时等号成立．综上可得，a9＋a10＋a11＋a12的最小值为24.思维升华(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3(1)(2023·六安模拟)在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于()A．40B．36C．54D．81答案C解析在等比数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，∴a7＋a8＝(a3＋a4)·a3＋a4a1＋a22＝24×24162＝54.(2)等比数列{an}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于()A．1B．2C．3D．4答案C解析∵an＝192，∴q＝S偶S奇－an＝－126255－