2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第7章　§7.1　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积考试要求1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．知识梳理1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君2.直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4．柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体S表＝S侧＋2S底V＝Sh锥体S表＝S侧＋S底V＝13Sh台体S表＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S表＝4πR2V＝43πR3常用结论1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)菱形的直观图仍是菱形．(×)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(×)公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(×)(4)锥体的体积等于底面积与高之积．(×)教材改编题1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是()A．四棱台B．四棱锥C．四棱柱D．三棱柱答案C解析由几何体的结构特征知，盛水部分的几何体是四棱柱．2．下列说法正确的是()A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案D解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形．3．已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A．1cmB．2cmC．3cmD.32cm答案B解析设圆锥底面圆的半径为rcm，母线长为lcm，依题意得2πr＝πl，∴l＝2r，S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).题型一基本立体图形命题点1结构特征例1(多选)下列说法中不正确的是()A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥D．棱台的各侧棱延长后必交于一点答案ABC解析由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A错误；由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误；底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确．命题点2直观图例2已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，则原四边形OABC的面积为()A.322B．32C．42D．52答案B解析方法一由已知求得O′C′＝2，把直观图还原为原图形如图，可得原图形为直角梯形，OA∥CB，OA⊥OC，且OA＝1，BC＝2，OC＝22，得原四边形OABC的面积为12×(1＋2)×22＝32.方法二由题意知A′B′＝1，∴S直观图＝12×(1＋2)×1＝32，∴S原图形＝22S直观图＝32.命题点3展开图例3如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．12cmB．13cmC.61cmD．15cm答案C解析如图，把侧面展开2周可得对角线最短，则AA1＝62＋52＝61(cm)．思维升华空间几何体结构特征的判断技巧(1)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．(2)在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．(3)在解决空间折线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．跟踪训练1(1)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为()A．42＋4B．46＋4C．82D．8答案B解析根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示，其中OA＝22，OD＝4，AB＝CD＝2，则AD＝8＋16＝26，故原平面图形的周长为2＋2＋26＋26＝46＋4.(2)(多选)下列命题中不正确的是()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱C．不存在每个面都是直角三角形的四面体D．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等答案ACD解析A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C不正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；D不正确，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．(3)(2023·岳阳模拟)已知圆锥的侧面积是底面积的54倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为()A.4π5B.6π5C.8π5D.9π5答案C解析设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl，由题意得πrlπr2＝54，解得l＝5r4，∵圆锥底面圆的周长即为侧面展开图扇形的弧长为2πr，∴该扇形的圆心角为α＝2πrl＝2πr5r4＝8π5.题型二表面积与体积命题点1表面积例4(1)(2022·深圳模拟)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A．8πB．4πC．8D．4答案A解析以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体为圆柱，其底面半径r＝2，高h＝2，∴所得圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π×2×2＝8π.(2)(2023·丽江模拟)已知三棱锥的三条侧棱长均为2，有两个侧面是等腰直角三角形，底面等公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君腰三角形底上的高为5，则这个三棱锥的表面积为()A．4＋33＋15B．4＋3＋215C．4＋3＋15D．4＋23＋15答案C解析结合题目边长关系，三棱锥如图所示，AB＝AC＝AD＝2，CE＝5，由题意得△ABC，△ACD是等腰直角三角形，则BC＝CD＝22，BE＝BC2－CE2＝3，BD＝23，AE＝AB2－BE2＝1，则该三棱锥的表面积为S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD＝12×2×2＋12×2×2＋12×23×1＋12×23×5＝4＋3＋15.命题点2体积例5(1)(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为()A．20＋123B．282C.563D.2823答案D解析作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，所以该棱台的高h＝22－22－22＝2，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，所以该棱台的体积V＝13h(S1＋S2＋S1S2)＝13×2×(16＋4＋64)＝2823.(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为()A.43B.83C．4D．6答案B解析如图，三棱锥A－B1CD1是由正方体ABCD－A1B1C1D1截去四个小三棱锥A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD得到的，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君又1111ABCDABCDV－＝23＝8，11111111AABDCBCDBABCDACDVVVV－－－－＝＝＝＝13×12×23＝43，所以11ABCDV－＝8－4×43＝83.思维升华求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积，直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积跟踪训练2(1)(2021·北京)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(10mm)，中雨(10mm－25mm)，大雨(25mm－50mm)，暴雨(50mm－100mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级()A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨答案B解析由题意，一个半径为2002＝100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为2002×150300＝50(mm)，高为150(mm)的圆锥，所以积水厚度d＝13π×502×150π×1002＝12.5(mm)，属于中雨．(2)(2022·沈阳模拟)在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7cm，底面边长公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君为7cm(数据为笔筒的外观数据)，用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为()A．120cm2B．162.7cm2C．785.4cm2D．1570.8cm2答案C解析根据正六棱柱的底面边长为7cm，得正六棱柱的侧面积为6×7×18.7＝785.4(cm2)，所以至少需要绒布的面积为785.4cm2.课时精练1．(2023·淄博模拟)若圆锥的母线长为23，侧面展开图的面积为6π，则该圆锥的体积是()A.3πB．3πC．33πD．9π答案B解析设圆锥的高为h，底面圆半径为r，因为母线长为23，所以侧面展开图的面积为πr×23＝6π，解得r＝3，所以h＝232－32＝3，所以圆锥的体积V＝13π×(3)2×3＝3π.2.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图(图中虚线分别与x′轴、y′轴平行)，则原图形△AOB的面积是()A．8B．16C．32D．64公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案C解析根据题意，如图，原图形△AOB的底边OB的长为4，高为16，所以其面积S＝12×4×16＝32.3．(多选)下列说法不正确的是()A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体答案ABC解析选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误；选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误