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公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君§8.12圆锥曲线中定点与定值问题题型一定点问题例1(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B32,-1两点.(1)求E的方程;(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足MT→=TH→.证明:直线HN过定点.(1)解设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m0,n0且m≠n),由椭圆E过A(0,-2),B32,-1两点,得4n=1,94m+n=1,解得m=13,n=14,∴椭圆E的方程为y24+x23=1.(2)证明当直线MN的斜率不存在时,lMN:x=1,由x=1,x23+y24=1得y2=83,∴y=±263.结合题意可知M1,-263,N1,263,∴过M且平行于x轴的直线的方程为y=-263.易知点T的横坐标xT∈0,32,直线AB的方程为y-(-2)=-1--232-0×(x-0),即y=23x-2,由y=-263,y=23x-2得xT=3-6,公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君∴T3-6,-263.∵MT→=TH→,∴H5-26,-263,lHN:y-263=46326-4(x-1),即y=23+63x-2.此时直线HN过定点(0,-2).当直线MN的斜率存在时,如图,设M(x1,y1),N(x2,y2),lMN:y=kx+m(由直线MN过点P(1,-2)可得k+m=-2).由y=kx+m,x23+y24=1,得(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0,Δ0,∴x1+x2=-6km3k2+4,x1x2=3m2-123k2+4.过M且平行于x轴的直线的方程为y=y1,与直线AB的方程联立,得y=y1,y=23x-2,得xT=3y1+22,∴T3y1+22,y1.∵MT→=TH→,∴H(3y1+6-x1,y1),lHN:y-y2=y1-y23y1+6-x1-x2(x-x2),公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君即y=y1-y23y1+6-x1-x2x+y2-y1-y23y1+6-x1-x2·x2.令x=0,得y=y2-y1-y2x23y1+6-x1-x2=-x1y2+x2y1+3y1y2+6y2-x1+x2+6+3y1=-x1y2+x2y1+3y1y2+6y2-x1+x2+6+3y1+y2-3y2.∵y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=-12k2+4m23k2+4,y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m=8m3k2+4,x1y2+x2y1=x1(kx2+m)+x2(kx1+m)=2kx1x2+m(x1+x2)=-24k3k2+4,∴-(x1y2+x2y1)+3y1y2=24k3k2+4+-36k2+12m23k2+4=-36k2+12m2+24k3k2+4=-24k2-3k-23k2+4,-(x1+x2)+6+3(y1+y2)=6km3k2+4+6+24m3k2+4=6km+18k2+24+24m3k2+4=12k2-3k-23k2+4,∴y=-24k2-3k-23k2+4+6y212k2-3k-23k2+4-3y2=-2,∴直线HN过定点(0,-2).综上,直线HN过定点(0,-2).思维升华求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.(2)由直线方程确定其过定点时,若得到了直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m).跟踪训练1(2023·郑州质检)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形,且面积为2,点M为椭圆C的右顶点.(1)求椭圆C的方程;(2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,实数t取何值时以AB为直径的圆恒过点M?公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君解(1)由题意知b=c,bc=2,解得b=c=2,又a2-b2=c2,则a=2,所以椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)由(1)知M(2,0),若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=t(-2t2),此时At,2-t22,Bt,-2-t22,由MA→·MB→=0得t-2,2-t22·t-2,-2-t22=0,解得t=23或t=2(舍),即t=23.若直线l的斜率存在,不妨设直线l:y=k(x-t),A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx-t,x24+y22=1,得(1+2k2)x2-4k2tx+2k2t2-4=0.所以x1+x2=4k2t1+2k2,x1x2=2k2t2-41+2k2.由题意知MA→·MB→=0,即(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=0,易得(1+k2)x1x2-(2+k2t)(x1+x2)+4+k2t2=0,即(1+k2)(2k2t2-4)-(2+k2t)·4k2t+(4+k2t2)(1+2k2)=0,整理得k2(3t2-8t+4)=0,因为k不恒为0,故解得t=23或t=2(舍),综上,当t=23时,以AB为直径的圆恒过点M.题型二定值问题例2(2022·蚌埠模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的虚轴长为4,直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线.(1)求双曲线C的标准方程;(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限),记直线MA的斜率为k1,直线NB的斜率为k2,求证:k1k2为定值.解(1)∵虚轴长为4,∴2b=4,即b=2,∵直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线,公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君∴ba=2,∴a=1,故双曲线C的标准方程为x2-y24=1.(2)由题意知,A(-1,0),B(1,0),由题可知,直线l的斜率不能为零,故可设直线l的方程为x=ny+2,设M(x1,y1),N(x2,y2),联立x2-y24=1,x=ny+2,得(4n2-1)y2+16ny+12=0,∴y1+y2=-16n4n2-1,y1y2=124n2-1,∴ny1y2=-34(y1+y2),∵直线MA的斜率k1=y1x1+1,直线NB的斜率k2=y2x2-1,∴k1k2=y1x1+1y2x2-1=y1ny2+1y2ny1+3=ny1y2+y1ny1y2+3y2=-34y1+y2+y1-34y1+y2+3y2=-13,为定值.思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.跟踪训练2(2022·郑州模拟)已知点F(0,1),直线l:y=4,P为曲线C上的任意一点,且|PF|是P到l的距离的12.(1)求曲线C的方程;(2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君轴于点H,求证:|FH||MN|为定值.(1)解设P(x,y),由已知得x2+y-12=12|y-4|,整理得x23+y24=1,即为曲线C的方程.(2)证明设经过点F且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y=kx+1,与曲线C的方程联立得y=kx+1,x23+y24=1,消去y整理得(4+3k2)x2+6kx-9=0,Δ=36k2+4×9×(4+3k2)=144(1+k2)0恒成立,设M(x1,y1),N(x2,y2),则|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2×Δ4+3k2=121+k24+3k2,x1+x2=-6k4+3k2,设线段MN的中点为T(x0,y0),则x0=x1+x22=-3k4+3k2,y0=kx0+1=44+3k2,线段MN的垂直平分线的斜率为-1k,方程为y-44+3k2=-1kx+3k4+3k2,令x=0,解得y=14+3k2,即为点H的纵坐标,∴|FH|=1-14+3k2=31+k24+3k2,∴|FH||MN|=31+k24+3k2121+k24+3k2=14,即|FH||MN|为定值14.课时精练1.已知抛物线C:x2=2py(p0)与圆O:x2+y2=12相交于A,B两点,且点A的横坐标为22.F是抛物线C的焦点,过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M,N.(1)求抛物线C的方程;(2)过点M,N作抛物线C的切线l1,l2,P(x0,y0)是l1,l2的交点,求证:点P在定直线上.(1)解点A的横坐标为22,代入圆O得y=2,所以A(22,2),代入解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君(2)证明抛物线C:y=x24,则y′=x2,设M(x1,y1),N(x2,y2),所以切线PM的方程为y-y1=x12(x-x1),即y=x12x-x214,同理切线PN的方程为y=x22x-x224,联立解得点Px1+x22,x1x24,设直线MN的方程为y=kx+1,代入x2=4y,得x2-4kx-4=0,所以x1x2=-4,所以点P在y=-1上,结论得证.2.已知双曲线C的渐近线方程为y=±33x,且过点P(3,2).(1)求C的方程;(2)设Q(1,0),直线x=t(t∈R)不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C交于另一点D,证明:直线AD过定点M.解(1)因为双曲线C的渐近线方程为y=±33x,则可设双曲线的方程为x29-y23=λ(λ≠0),将点P(3,2)代入得99-23=λ,解得λ=13,所以双曲线C的方程为x23-y2=1.(2)显然直线BQ的斜率不为零,设直线BQ:x=my+1,B(x1,y1),D(x2,y2),A(x1,-y1),联立x23-y2=1,x=my+1,消去x,整理得(m2-3)y2+2my-2=0,依题意得m2-3≠0,且Δ=4m2+8(m2-3)0,即m22且m2≠3,y1+y2=-2mm2-3,y1y2=-2m2-3,公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君直线AD的方程为y+y1=y2+y1x2-x1(x-x1),令y=0,得x=x2-x1y1y2+y1+x1=x1y2+x2y1y2+y1=my1+1y2+my2+1y1y2+y1=2my1y2+y1+y2y2+y1=2m·-2m2-3-2mm2-3-2mm2-3=-6mm2-3-2mm2-3=3.所以直线AD过定点M(3,0).3.(2023·吉林模拟)在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(-6,0),B(6,0),动点E(x,y)满足直线AE与BE的斜率之积为-13,记E的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过点D(2,0)的直线l交C于P,Q两点,过点P作直线x=3的垂线,垂足为G,过点O作OM⊥QG,垂足为M.证明:存在定点N,使得|MN|为定值.(1)解由A(-6,0),B(6,0),E(x,y)可得kAE=yx+6,kBE=yx-6,由题意得yx+6×yx-6=-13,化简得x26+y22=1(|x|≠6),所以曲线C是中心在原点,焦点在x轴上的椭圆(不含左右顶点).(2)证明由(1)知直线l与x轴不重
本文标题:2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8.12 圆锥曲线中定点与定值问题
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