素养拓展10 导数中的隐零点问题（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展10导数中的隐零点问题（精讲+精练）一、隐零点问题隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.基本步骤：第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程'()fx00，并结合()fx的单调性得到零点的范围；第2步：以零点为分界点，说明导函数'()fx的正负，进而得到()fx的最值表达式；第3步：将零点方程'()fx00适当变形，整体代入()fx最值式子进行化简，要么消除()fx最值式中的指对项，要么消除其中的参数项，从而得到()fx最值式的估计.下面我们通过实例来分析.二、函数零点的存在性定理函数零点存在性定理：设函数fx在闭区间,ab上连续，且0fafb，那么在开区间,ab内至少有函数fx的一个零点，即至少有一点0,xab，使得00fx.三、常见类型1.隐零点代换2.隐零点同构实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.例如：1lnlnln)(ln1)(xxxxxxxfxeexxexfxxx3.隐零点的估计二、题型精讲精练一、知识点梳理【典例1】已知函数1()elnlnxfxaxa．（1）当ea时，求曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；（2）若1)(xf，求a的取值范围.解析：（1）切线方程为12yex,故切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e,所求三角形面积为1222||=211ee.（2）由于1()elnlnxfxaxa,11()xfxaex，且0a.设()()gxfx,则121()0,xgxaex即()fx在(0,)上单调递增，当1a时，()01f,∴11minfxf,∴1fx成立.当1a时，11a，111()(1)(1)(1)0affaeaa,∴存在唯一00x，使得01001()0xfxaex，且当0(0,)xx时()0fx，当0(,)xx时()0fx，0101xaex，00ln1lnaxx，因此01min00()()lnlnxfxfxaexa000011ln1ln2ln122ln1axaaxaxx,故1fx恒成立；当01a时，(1)ln1,faaa∴(1)1,()1ffx不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,).【典例2】已知函数axfxex（aR，e为自然对数的底数），ln1gxxmx.（1）若fx有两个零点，求实数a的取值范围；（2）当1a时，xfxxgx对任意的0,x恒成立，求实数m的取值范围.解析：（1）fx有两个零点关于x的方程axex有两个相异实根，由0axe，知0xfx有两个零点lnxax有两个相异实根.令lnxGxx，则21lnxGxx，由0Gx得：0xe，由0Gx得：xe，Gx在0,e单调递增，在,e单调递减，max1GxGee，又10G，当01x时，0Gx，当1x时，0Gx当x时，0Gx，fx有两个零点时，实数a的取值范围为10,e；（2）当1a时，xfxex，原命题等价于ln1xxexmx对一切0,x恒成立ln1xxmexx对一切0,x恒成立.令ln10xxFxexxxminmFx，222lnlnxxxxexFxexx，令2lnxhxxex，0,x，则2120xhxxexex，hx在0,上单增，又10he，1201110eheee01,1xe，使00hx即0020en0lxxx①，当00,xx时，0hx，当0,xx时，0hx，即Fx在00,x递减，在0,x递增，000min00ln1xxFxFxexx由①知0200lnxxex，001ln000000ln111lnlnxxxxeexxxx函数xxxe在0,单调递增，001lnxx即00lnxx，0ln0min000011111xxFxexxxx，1m实数m的取值范围为,1.【典例3】已知函数2()lnfxaxaxxx，且()0fx≥．（1）求a；（2）证明：()fx存在唯一的极大值点0x，且220()2efx．解析：（1）1a．（2）由（1）知2()lnfxxxxx，()22lnfxxx．设()22lnhxxx，则1()2hxx．当1(0,)2x时，()0hx；当1(,)2x时，()0hx．所以()hx在1(0,)2单调递减，在1(,)2单调递增．又2()0he，1()02h，(1)0h，所以()hx在1(0,)2有唯一零点0x，在1[,)2有唯一零点1，且当0(0,)xx时，()0hx；当0(,1)xx时，()0hx；当(1,)x时，()0hx．因此()()fxhx，所以0xx是()fx的唯一极大值点．由0()0fx得00ln2(1)xx，故000()(1)fxxx．由0(0,1)x得，01()4fx．因为0xx是()fx在(0,1)的最大值点，由1(0,1)e，1()0fe得120()()fxfee．所以220()2efx．【题型训练】1.已知函数()()ln3(R)fxxaxxaa．(1)若0a，求()fx的极小值．(2)讨论函数()fx的单调性；(3)当2a时，证明：()fx有且只有2个零点．2.已知函数2()lnfxxaxx，1()e1lnxgxxxx．(1)当1a时，求函数()fx在点(1,(1))f处的切线方程；(2)设a0，若1(0,e)x，2(0,)x，都有1210fxgx，求实数a的取值范围．3.已知函数()ecos2,()xfxxfx为()fx的导数.(1)当0x时，求()fx的最小值；(2)当π2x时，2ecos20xxxxaxx恒成立，求a的取值范围.4.已知ln()xafxx，2()e1xgxx.(1)若函数()fx的图像在ex处的切线与直线280xy垂直，求a;(2)当0x时，()()gxfx恒成立，求实数a的取值范围.5.已知函数2()cos2afxxx（aR），()fx是()fx的导数.（1）当1a时，令()()lnhxfxxx，()hx为()hx的导数.证明：()hx在区间0,2存在唯一的极小值点；（2）已知函数42(2)3yfxx在0,2上单调递减，求a的取值范围.6.已知函数eaxfxx，sincos2gxxxx，(1)求函数fx的单调区间；(2)若关于x的不等式fxgx在0,x上恒成立，求实数a的取值范围.7.已知函数()e(R)xafxax．(1)讨论函数fx零点个数；(2)若lnfxaxa恒成立，求a的取值范围．8.已知函数eln1lnxfxaxa．(1)当1a时，讨论fx的单调性(2)证明：fx有唯一极值点t，且1fx．9.已知函数22()3ln(0)fxxaxaxa．（1）若()fx的极小值为22a，求实数a的值；（2）若2a，求证：()(6)ln8fxxx．10.已知函数2()e(1)xfxaxb在(0,(0))f处的切线方程是220xy．(1)求a，b的值；(2)若对于0k，曲线:exCykm与曲线()yfx都有唯一的公共点，求实数m的取值范围．