函数解析式的方法和习题

求函数解析式常用的方法求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。以下主要从这几个方面来分析。（一）待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。例1：已知()fx是二次函数，若(0)0,f且(1)()1fxfxx试求()fx的表达式。小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)=kx(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设一般式②顶点式③双根式练习：1、已知(x)是一次函数,且满足3(x+1)-2(x-1)=2x+17,求(x).2、已知二次函数fx当2x时有最大值16，它的图像截x轴所得的线段长为8，求yfx的解析式.（二）换元法换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。例2：已知(1)21,fxxx求()fx的解析式。小结：已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式。注意：换元后要确定新元t的取值范围。练习题：1、若2(21)2,fxxx则(1)f；2、已知221)1(xxxxxf，求f(x)；3、已知22(1)34fxxx，求()fx；(三)配凑法已知复合函数[()]fgx的表达式，要求()fx的解析式时，若[()]fgx表达式右边易配成()gx的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。例3：已知(1)2,fxxx求()fx的解析式。总结：求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。练习题：1、已知函数21)1(xxf，则)(xf；2、已知2211(),fxxxx求()fx.(四)消元法，此方法的实质是解函数方程组。消元法适用的范围是：题目条件中，有若干复合函数与原函数()fx混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。例5：设()fx满足1()2(),fxfxx求()fx的解析式。小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、1()fx；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。练习题：1、设fx是定义在1,上的一个函数，且有1()2()1,fxfxx（1）求1f的值；（2）求fx.2、已知()fx满足12()()3fxfxx，求()fx．3、()fx满足：()2()32fxfxx，求()fx（五）赋值法赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。例5：已知(0)1,()()(21),ffabfabab求()fx。解析：令0,a则2()(0)(1)1fbfbbbb令bx则2()1fxxx小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。练习题：1、已知：(0)1f，对于任意实数,xy，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求()fx2、设函数f(x)的定义域为R，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．(1)求f(0)与f(1)的值；(2)求证：f(1x)＝－f(x)；(3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q都是常数)，求f(36)的值．总之，求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法、消元法等。如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；已知复合函数解析式时，可用换元法，这时要注意“元”的取值范围；当已知的表达式比较简单时，可用配凑法；若已知抽象的函数表达式，根据题目的条件特征，可用赋值法或解方程组消元的方法求解析式