素养拓展22 数列与不等式（原卷版）

1【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展22数列与不等式（精讲+精练）一、数列与不等式数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.1.常见放缩公式：（1）21111211nnnnnn；（2）2111111nnnnn；（3）2221441124412121nnnnn；（4）11!111112!!!11rrnrrnTCrnrnrnrrrrr；（5）1111111312231nnnn；（6）1222121nnnnnnnn；（7）122211nnnnnnn；（8）122222212111212122nnnnnnnnn；（9）1211222211212121212122212121nnnnnnnnnnnnn2n；（10）32111111111111nnnnnnnnnnnnn111111121111211nnnnnnnnnnn112211nnn；一、知识点梳理2（11）32212221111nnnnnnnnnnnnn2122211nnnnnnn；（12）01211122221111111nnnnnCCCnnnn；（13）111121122121212121nnnnnnn．（14）21211112()2()nnnnnnnnn．2.数学归纳法（1）数学归纳法定义：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值0n时命题成立；然后假设当nk（*kN，0kn）时命题成立，证明当1nk时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法注：即先验证使结论有意义的最小的正整数0n，如果当0nn时，命题成立，再假设当nk（*kN，0kn）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当1nk时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n的正整数01n，02n，…，命题都成立．（2）运用数学归纳法的步骤与技巧①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：（1）证明：当n取第一个值0n结论正确；（2）假设当nk（*kN，0kn）时结论正确，证明当1nk时结论也正确由（1），（2）可知，命题对于从0n开始的所有正整数n都正确②用数学归纳法证题的注意事项（1）弄错起始0n．0n不一定恒为1，也可能02n或3（即起点问题）．（2）对项数估算错误．特别是当寻找nk与1nk的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆奎屯王新敞新疆3（4）关键步骤含糊不清．“假设nk时结论成立，利用此假设证明1nk时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．【典例1】（2021·天津·统考高考真题）已知na是公差为2的等差数列，其前8项和为64．nb是公比大于0的等比数列，1324,48bbb．（I）求na和nb的通项公式；（II）记2*1,nnncbbnN，（i）证明22nncc是等比数列；（ii）证明*112222nkkkkkanNcac【典例2】（2020·全国·统考高考真题）设数列{an}满足a1=3，134nnaan．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【题型训练-刷模拟】1.数列不等式一、单选题1．（2023春·北京海淀·高二人大附中校考期中）已知数列2141n的前n项和为nT，若对任意的*Nn，不等式226nmmT恒成立，则实数m的取值范围是（）A．,13,B．,31,C．3,1D．1,3二、题型精讲精练42．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知数列na满足121nann，数列na的前n项和为nT，若2419nnTnnR对任意*nN恒成立，则的取值范围是（）A．,4B．,25C．,5D．,63．（2023·河南驻马店·统考二模）设数列na的前n项和为nS，34a，且1111nnaan，若212nnSka恒成立，则k的最大值是（）A．2101B．223C．152D．84．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知nS是各项均为正数的数列na的前n项和，1122nnnSaS，3564aa，若2650nnaS对N*n恒成立，则实数的最大值为（）A．82B．16C．162D．325．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列na满足113a，11nnnnaaan，11212naaaaaammR恒成立，则m的最小值为（）A．3B．2C．1D．236．（2023春·江西九江·高二校考期中）数列na是首项和公比均为2的等比数列，nS为数列na的前n项和，则使不等式21223122222023nnnnSSSSSS成立的最小正整数n的值是（）A．8B．9C．10D．117．（2023·上海·高三专题练习）已知数列{}na满足11a，112nnnaa，存在正偶数n使得1()()0nnaa，且对任意正奇数n有1()()0nnaa，则实数的取值范围是（）A．2,13B．2,(1,)3C．32,43D．32,438．（2023春·浙江衢州·高二统考期末）已知等差数列na的前项和为nS，且111012SSS，若2023nanb，数列nb的前n项积为nT，则使1nT的最大整数n为（）A．20B．21C．22D．2359．（2023·江西吉安·统考一模）已知数列na满足2111,4,R,Nnnaatatn，则下列说法正确的是（）A．数列na不可能为等差数列B．对任意正数t，1nnaa是递增数列C．若1t，则14nnaaD．若1t，数列1na的前n项和为nS，则4enS10．（2023·四川遂宁·校考模拟预测）若数列na的前n项和为nS，nnSbn，则称数列nb是数列na的“均值数列”．已知数列nb是数列na的“均值数列”且nbn，设数列11nnaa的前n项和为nT，若21332nmmT对nN恒成立，则实数m的取值范围为（）A．1,2B．1,2C．,12,D．,12,11．（2023春·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）已知数列na满足2*110,Nnnnaaaatan，若存在实数t，使na单调递增，则a的取值范围是（）A．0,1B．1,2C．2,3D．3,412．（2022春·北京·高二清华附中校考期中）对于数列na，若*,Nmnmn，都有mnaatmn（t为常数）成立，则称数列na具有性质Pt．数列na的通项公式为2naann，且具有性质5P，则实数a的取值范围是（）A．5,B．4,C．,4D．,513．（2023春·河南开封·高二校考期中）已知数列na的前n项和为nS，11a，若对任意正整数n，1133nnnSaa，1nnnSaa，则实数a的取值范围是（）A．31,2B．51,2C．52,2D．2,314．（2022秋·安徽合肥·高二统考期末）在数列na中，若112a，且对任意的Nn有112nnanan，则使6数列na前n项和6332nS成立的n最大值为（）A．9B．8C．7D．615．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}na满足113a，2*12()nnnaaanNn，则下列选项正确的是（）A．20212020aaB．2021202114043aC．2021202104043aD．20211a二、填空题16．（2023春·上海·高三统考开学考试）设nS为正数列na的前n项和，11nnSqSS，1q，对任意的1n，nN均有+14nnSa≤，则q的取值为.17．（2023·陕西延安·校考一模）已知数列{}na的前n项和为nS，且232nnSan，若560ma，则正整数m的最小值是．18．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知数列{}nb满足113(1)2nnnnb，且对于任意的*Nn，都有1nnbb恒成立，则实数的取值范围．19．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）设数列na的前n项和为3,4nSa，且1111nnaan，若212nnSka恒成立，则k的最大值是.20．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列na的前n项和23122nSnn，设11,nnnnbTaa为数列nb的前n项和，若对任意的Nn，不等式93nTn恒成立，则实数的取值范围为．21．（2023春·江西赣州·高二江西省全南中学校考期末）已知数列na的前n项和为nS，1110nnnana（*nN），且13a，25a.若12nnSm恒成立，则实数m的取值范围为.22．（2023春·辽宁锦州·高二校考阶段练习）已知数列na的首项11a，且满足*112nnnaanN，则存在正整数n，使得10nnaa成立的实数组成的集合为23．（2021·江苏·高二专题练习）已知正数数列na满足111nnnnanaa，且对任意*nN，都有2na，则1a的取值范围为．三、解答题24．（2024秋·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知数列na的各项均为正数，其前n项和nS满7足21nnSa，数列nb满足1111nnnbaa.(1)求na的通项公式；(2)设数列nb的前n项和为nT，若5254nmTm对一切*Nn恒成立，求实数m的取值范围.25．（2023·全国·模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，11a，nnSa是公差为1的等差数列.(