素养拓展27 立体几何中的折叠和探索性问题（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展27立体几何中的折叠和探索性问题（精讲+精练）1.折叠问题解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。一般步骤：①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；③利用判定定理或性质定理进行证明。2.探索性问题探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的。【典例1】如图所示的五边形SBADC中ABCD是矩形，2BCAB，SBSC，沿BC折叠成四棱锥SABCD，点M是BC的中点，2SM．(1)在四棱锥SABCD中，可以满足条件①6SA；②5cos5SBM；③6sin3SAM，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面SBC底面ABCD；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计二、题型精讲精练一、知识点梳理分．）(2)在（1）的条件下求直线SC与平面SAD所成角的正弦值．【分析】（1）选条件①②，利用勾股定理得到SMMA，进而得到SM底面ABCD，利用面面垂直的判定定理即可得证；选条件①③，利用正弦定理得到SMMA，进而得到SM底面ABCD，利用面面垂直的判定定理即可得证；选条件②③，利用余弦定理和勾股定理得到SMMA，进而得到SM底面ABCD，利用面面垂直的判定定理即可得证；（2）由（1）可得SM平面ABCD，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．【详解】（1）证明：（1）方案一：选条件①②．因为在四棱锥SABCD中SBSC，点M是BC的中点，2SM，所以SMBC，又因为在RtSBM中，5cos5SBM，所以1BM，又因为ABCD是矩形，2BCAB，所以1BMAB，2AM，由6,2,2SAAMSM可得222SAAMSM，所以SMAM，则由SMBC，SMAM，AMBCM，,AMBC平面ABCD，所以SM平面ABCD，又因为SM侧面SBC，所以侧面SBC底面ABCD；方案二：选条件①③．因为在四棱锥SABCD中SBSC，点M是BC的中点，2SM，所以SMBC，又因为在SAM△中，66,sin,23SASAMSM，所以由正弦定理得：sinsinSASMSMASAM，即62sin63SMA，所以sin1SMA，即π2SMA，所以SMMA，则由SMBC，SMAM，AMBCM，,AMBC平面ABCD，所以SM平面ABCD，又因为SM侧面SBC，所以侧面SBC底面ABCD；方案三：选条件②③．因为在四棱锥SABCD中SBSC，点M是BC的中点，2SM，所以SMBC，又因为在RtSBM中，5cos5SBM，所以1BM，又因为ABCD是矩形，2BCAB，所以1,2BMABAM，又因为在SAM△中，6sin3SAM，则3cos3SAM，设SAx，2222cosSMSAAMSAAMSAM，所以有232660xx，解得16x或263x（舍)，所以6SA，由6,2,2SAAMSM可得222SAAMSM，所以SMAM，则由SMBC，SMAM，AMBCM，,AMBC平面ABCD，所以SM平面ABCD，又因为SM侧面SBC，所以侧面SBC底面ABCD；（2）在（1）条件下知SM平面ABCD，且MDAM，故如图所示：以M为坐标原点，以MA所在直线为x轴，以MD所在直线为y轴，以MS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则0,0,2S，2,0,0A，0,2,0D，22022C,,，则0,2,2SD，2,0,2SA，设平面SAD的法向量为,,nxyz，则220220nSDyznSAxz，则2,2,1n，22,,222SC，设直线SC与平面SAD所成角为，则2sin5nSCnSC，直线SC与平面SAD所成角的正弦值为25.【典例2】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，//ABDC，PAPD，45BAD，22AD，4AB，1DC，23PB．(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)在线段PB上是否存在点M，使得//CM平面PAD？若存在，求BMBP的值；若不存在，请说明理由．【分析】(1)先证明PG平面ABCD,则PG为四棱锥PABCD的高,再应用体积公式13PABCDABCDVPGS；(2)先过点C作//CNAD交AB于点N，过点N作//NMAP交PB于点M,再证平面//PAD平面CMN，最后得出比值成立即可.【详解】（1）取AD的中点G，连接PG，GB，如图所示．在PAD中，PAPD，G是AD的中点，所以PGAD．又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PG平面PAD，所以PG平面ABCD，即PG为四棱锥PABCD的高．又GB平面ABCD，所以PGGB．在AGB中，由余弦定理得2222cosGBAGABAGABGAB22224224102，故10GB．在PGB△中，23PB，10GB，PGGB，所以2PC．所以142115223323PABCDABCDVPGS．（2）过点C作//CNAD交AB于点N，则13PNNB，过点N作//NMAP交PB于点M，连接CM，则13PMMB．又因为//CNAD，AD平面PAD，CN平面PAD，所以//CN平面PAD．因为//MNPA，PA平面PAD，MN平面PAD，所以//MN平面PAD．又CNMNN，CN，MN平面CNM，所以平面//PAD平面CMN．又CM平面CMN，所以//CM平面PAD．所以在PB上存在点M，使得//CM平面PAD，且34BMBP．【题型训练-刷模拟】1.折叠问题一、解答题1．（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）如图1，在梯形ABCD中，//ABCD，且24ABCD，ABC是等腰直角三角形，其中BC为斜边.若把ACD沿AC边折叠到ACP△的位置，使平面PAC平面ABC，如图2.（1）证明：ABPA；（2）若E为棱BC的中点，求点B到平面PAE的距离.2．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形MABC中，ABC是等腰直角三角形，90,ACBMAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将MAC△向一方折叠到DAC△的位置，使D点在平面ABC内的射影在AB上，再将MAC△向另一方折叠到EAC的位置，使平面EAC平面ABC，形成几何体DABCE.（1）若点F为BC的中点，求证：//DF平面EAC；（2）求平面ACD与平面BCE所成角的正弦值.3．（2023·全国·高三专题练习）如图是矩形ABCD和以边AB为直径的半圆组成的平面图形，将此图形沿AB折叠，使平面ABCD垂直于半圆所在的平面，若点E是折后图形中半圆O上异于A，B的点（1）证明：EAEC；（2）若22ABAD，且异面直线AE和DC所成的角为6，求三棱锥DACE的体积．4．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC的中点，将APD△、CDQ分别沿DP、DQ折叠，使A、C两点重合于点M，连BM、PQ，得到图2所示几何体．(1)求证：PMDQ；(2)在线段MD上是否存在一点F，使BM∥平面PQF，如果存在，求FMFD的值，如果不存在，说明理由．5．（2023·河南濮阳·濮阳一高校考模拟预测）如图①，在平面四边形ABCD中，2ABAD，2BCCD，60BAD．将BCD△沿着BD折叠，使得点C到达点C的位置，且二面角ABDC为直二面角，如图②．已知,,PGF分别是,,ACADAB的中点，E是棱AB上的点，且CE与平面ABD所成角的正切值为233．(1)证明：平面//PGF平面CDB；(2)求四棱锥PGFED的体积．6．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形EFBC中，BFCE，ECEF，1EF，2FB，3EC.现沿平行于EF的AD折叠，使得EDDC且BC平面BDE，如图2所示.(1)求AB的长度；(2)求二面角FEBC的大小.7．（2023·新疆阿克苏·校考一模）如图甲所示的正方形11AAAA中，112AA，113ABAB，114BCBC，对角线1AA分别交1BB，1CC于点P，Q，将正方形11AAAA沿1BB，1CC折叠使得1AA与1AA重合，构成如图乙所示的三棱柱111ABCABC-．(1)若点M在棱AC上，且157AM，证明：//BM平面APQ；(2)求平面APQ与平面1APQ夹角的余弦值．8．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）如图甲所示的正方形''11AAAA中，11112,3,AAABAB114,BCBC对角线'1AA分别交11,BBCC于点,PQ，将正方形''11AAAA沿11,BBCC折叠使得1AA与''1AA重合，构成如图乙所示的三棱柱111.ABCABC(1)若点M在棱AC上，且157AM，证明：BM∥平面APQ；(2)求二面角1APQA的余弦值.9．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且2AE.(1)求证：直线EC与平面ABD没有公共点；(2)求点C到平面BED的距离.10．（2023·广东深圳·校考二模）如图1所示，等边ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC边的中点．现将ABC沿CD折叠，如图2所示.(1)证明：CDEF；(2)折叠后若ABa=，求二面角ABDE-的余弦值.11．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）在图1中，ABC为等腰直角三角形，90B??，22AB，ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且2ECBE，沿AC将ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得4FB．(1)证明：FO平面ABC．(2)求二面角EFAC的余弦值．12．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知矩形ABCD中，2AB，23BC，M，N分别为AD，BC中点，O为对角线AC，BD交点，如图1所示．现将OAB和OCD剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿MN将,AODBOC折叠，并使OA与OB重合，OC与OD重合，连接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN围成的无盖几何体，如图2所示．(1)求证：MN⊥平面AOC；(2)求此多面体体积V的最大值．13．（2023·全国·高三专题练习）如图（1）所示，在ABC中，43AB，23BC，=60B，DE垂直平分AB．现将ADEV沿DE折起，使得二面角ADEB大小为60，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点A记作点P）(1)求点D到面PEC的距离；(2)求四棱锥PBCED外接球的体积；(3)点Q为一动点，满足(01)PQPE，当直线BQ与平面PEC所成角最大时，试确定点Q的位置．14．（2023·全国·高三专题练习）如图1所示，在边长为12的正方形'11AAAA中，点BC，在线段'AA上，且34ABBC