素养拓展29 立体几何中的结构不良问题（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展29立体几何中的结构不良问题（精讲+精练）一、空间向量与立体几何的求解公式(1)异面直线成角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ满足：cosθ＝|a·b||a||b|；(2)线面成角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为β，则直线l与平面α所成的角为θ满足：sinθ＝|cosβ|＝|a·n||a||n|.(3)二面角：设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则两面的成角θ满足：cosθ＝cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|；注意：二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角或是向量n1与n2的夹角的补角，具体情况要判断确定．(4)点到平面的距离：如右图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为：|BO→|＝|AB→·n||n|，即向量BO→在法向量n的方向上的投影长.二、几种常见角的取值范围①异面直线成角∈(0，π2]；②二面角∈[0，π]；③线面角∈[0，π2]；④向量夹角∈[0，π]三、平行构造的常用方法①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法.四、垂直构造的常用方法①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法.五、用向量证明空间中的平行关系(1)线线平行：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)线面平行：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(3)面面平行：设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.六、用向量证明空间中的垂直关系(1)线线垂直：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)线面垂直：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)面面垂直：设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.七、点面距常用方法一、知识点梳理①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法【典例1】（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11BCCB为正方形，平面11BCCB平面11ABBA，2ABBC，M，N分别为11AB，AC的中点．(1)求证：MN∥平面11BCCB；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：ABMN；条件②：BMMN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）取AB的中点为K，连接,MKNK，可证平面//MKN平面11BCCB，从而可证//MN平面11BCCB.（2）选①②均可证明1BB平面ABC，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【详解】（1）取AB的中点为K，连接,MKNK，由三棱柱111ABCABC-可得四边形11ABBA为平行四边形，而11,BMMABKKA，则1//MKBB，而MK平面11BCCB，1BB平面11BCCB，故//MK平面11BCCB，而,CNNABKKA，则//NKBC，同理可得//NK平面11BCCB，而,,NKMKKNKMK平面MKN，故平面//MKN平面11BCCB，而MN平面MKN，故//MN平面11BCCB，（2）因为侧面11BCCB为正方形，故1CBBB，二、题型精讲精练而CB平面11BCCB，平面11CBBC平面11ABBA，平面11CBBC平面111ABBABB，故CB平面11ABBA，因为//NKBC，故NK平面11ABBA，因为AB平面11ABBA，故NKAB，若选①，则ABMN，而NKAB，NKMNN，故AB平面MNK，而MK平面MNK，故ABMK，所以1ABBB，而1CBBB，CBABB，故1BB平面ABC，故可建立如所示的空间直角坐标系，则0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2BANM，故0,2,0,1,1,0,0,1,2BABNBM，设平面BNM的法向量为,,nxyz，则00nBNnBM，从而020xyyz，取1z，则2,2,1n，设直线AB与平面BNM所成的角为，则42sincos,233nAB.若选②，因为//NKBC，故NK平面11ABBA，而KM平面MKN，故NKKM，而11,1BMBKNK，故1BMNK，而12BBMK，MBMN，故1BBMMKN，所以190BBMMKN，故111ABBB，而1CBBB，CBABB，故1BB平面ABC，故可建立如所示的空间直角坐标系，则0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2BANM，故0,2,0,1,1,0,0,1,2BABNBM，设平面BNM的法向量为,,nxyz，则00nBNnBM，从而020xyyz，取1z，则2,2,1n，设直线AB与平面BNM所成的角为，则42sincos,233nAB.【题型训练-刷模拟】一、解答题1．（2023·北京海淀·校考三模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且π2PAD，点F为棱PC上的点，平面ADF与棱PB交于点E．(1)求证：//EFAD；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小．条件①：2AE；条件②：平面PAD平面ABCD；条件③：PBFD．2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体1111ABCDABCD中，1112ABADAA，E为1DD的中点.(1)证明：平面EAB平面11EAC；(2)若点F在11EAC内，且1DFBE∥，从下面三个结论中选一个求解.①求直线BF与平面11EAC所成角的正弦值；②求平面FAB与平面EAB所成角的余弦值；③求二面角11ABFAC的余弦值.注：若选择多个结论分别解答，按第一个解答计分.3．（2023·北京·统考模拟预测）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA平面ABC，11ABACAA，M为线段11AC上一点，平面BCM交棱11AB于点F.(1)求证：//FMBC;(2)若直线1AB与平面BCM所成角为4，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求点1A到平面BCM的距离.条件①：ABAC；条件②：2BC.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.4．（2023·北京海淀·校考三模）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ACBDO，且PO平面ABCD，2,,POFG分别是,PBPD的中点，E是PA上一点，且3APAE.(1)求证：BD平面EFG；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线PA与平面EFG所成角的正弦值.条件①：23BD；条件②：2π3DAB.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.5．（2023·全国·高三专题练习）如图在几何体ABCDFE中，底面ABCD为菱形，60,,,22ABCAEDFAEADABAEDF∥.(1)判断AD是否平行于平面CEF，并证明；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：（i）平面ABCD与平面CEF所成角的大小；（ii）求点A到平面CEF的距离.条件①：面EAB面ABCD条件②：BDCE条件③：EFCF注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.6．（2023·北京·校考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，ABBC，//ADBC，PB底面ABCD，M为棱PC上的点，2PBABBC，1AD.(1)若DM//平面PAB，求证：点M为PC的中点；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面CBD与平面BDM夹角的余弦值.条件①：PA//平面BDM条件②：直线BM与BD夹角的余弦值为15注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.7．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，60ABC，四边形PACQ为矩形，1PA，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.①,BPDP与平面ABCD所成角相等；②三棱锥PABD体积为33；③5cos5BPA(1)平面PACQ平面ABCD；(2)求二面角BPQD的大小；(3)求点C到平面BPQ的距离.8．（2023·全国·高三专题练习）如图在三棱柱111ABCABC-中，D为AC的中点，2ABBC，111AABBBC.(1)证明：1BBAC；(2)若1BBBC，且满足：______，______（待选条件．．．．）.从下面给出的①②③中选择两个．．填入待选条件．．．．，求二面角11BBDC的正弦值.①三棱柱111ABCABC-的体积为33；②直线1AB与平面11BCCB所成的角的正弦值为3913；③二面角1ABBC的大小为60°；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.9．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）如图所示的五边形SBADC中ABCD是矩形，2BCAB，SBSC，沿BC折叠成四棱锥SABCD，点M是BC的中点，2SM．(1)在四棱锥SABCD中，可以满足条件①6SA；②5cos5SBM；③6sin3SAM，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面SBC底面ABCD；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）(2)在（1）的条件下求直线SC与平面SAD所成角的正弦值．10．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，45,3ACBBC，过点A作ADBC，交线段BC于点D（如图1），沿AD将ABD△折起，使90BDC（如图2），点,EM分别为棱,BCAC的中点.(1)求证：CDME；(2)在①图1中4tan23B，②图1中2133ADABAC，③图2中三棱锥ABCD的体积最大.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.问题：已知__________，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求平面BMN与平面CBN的夹角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.11．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）如图所示的五边形SBADC中ABCD是矩形，2BCAB，SBSC，沿BC折叠成四棱锥SABCD，点M是BC的中点，2SM．(1)在四棱锥SABCD中，可以满足条件①6SA；②5cos5SBM；③6sin3SAM，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面SBC底面ABCD；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）(2)在（1）的条件下求点M到平面SAD的距离．12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥ABCDE中，侧棱AB平面BCDE，底面四边形BCDE是矩形，4ABBE，点P、M分别为棱AE、AC的中点，点F在棱BE上．(1)若13BFBE，求证：直线//BM平面PCF；(2)若2BC，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．①平面ADE与平面ABC的交线为直线l，l与直线CF成角的余弦值为255；②二面角PCFE的余弦值为66．注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分．13．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD底面ABCD，