素养拓展31 圆锥曲线中焦半径和焦点弦公式的应用（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展31圆锥曲线中焦半径和焦点弦公式的应用（精讲+精练）一、椭圆的焦半径和焦点弦公式【焦半径形式1】椭圆22221xyab0ab的左、右焦点分别为1F、2F，点00,Pxy为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径1PF和2PF可按下面的公式计算：（1）10PFaex；（2）20PFaex（记忆：左加右减）【焦半径形式2】椭圆222210xyabab的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设PFO，则椭圆的焦半径2cosbPFac，若延长PF交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦22222cosabPQac.二、双曲线的焦半径和焦点弦公式【焦半径形式1】双曲线22221xyab0,0ab的左、右焦点分别为1F、2F，点00,Pxy为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径1PF和2PF可按下面的公式计算：（1）10PFexa；（2）20PFexa（记忆：左加右减）一、知识点梳理【焦半径形式2】双曲线222210,0xyabab的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设PFO，则双曲线的焦半径2cosbPFca，若直线PF交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦22222cosabPQac.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）三、抛物线的焦半径和焦点弦公式【焦半径形式1】设点00,Pxy在抛物线上，11,Axy、22,Bxy，AB是抛物线的焦点弦，则抛物线的坐标版焦半径、焦点弦公式如下表：标准方程22ypx0p22ypx0p220xpyp220xpyp图形焦半径公式02pPFx02pPFx02pPFy02pPFy焦点弦公式12ABxxp12ABpxx12AByyp12ABpyy【焦半径形式2】直线AB过抛物线22(0)ypxp的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设α为AB的倾斜角（1）弦长AB＝2psin2α（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥122xx＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.（3）cos1||pAF，cos1pBF，1|AF|＋1|BF|为定值2p.【典例1】椭圆22162xy的左、右焦点分别为1F、2F，点P在椭圆上，则12PFPF的取值范围为_______.【解析】由题意，6a，2c，63e，设00,Pxy，其中066x，则10663PFx，20663PFx，所以2120262,63PFPFx【典例2】双曲线2213yx的左、右焦点分别为1F、2F，双曲线上的一点P满足1235PFPF，则点P的坐标为_______.【解析】由题意，1a，3b，2c，2e，由焦半径公式，1021PFx，2021PFx，因为1235PFPF，所以00321521xx，解得：02x或18（舍去）代入双曲线的方程可求得03y，所以P的坐标为2,3.【典例3】过抛物线2:4Cyx焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若3AF，则BF_____.【解析】设AFO，则231cosAF，所以1cos3，故231cos2BF.【典例4】抛物线2:2Cyx的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l被抛物线C截得的弦长为______.【解析】解法1：由题意，1,02F，设1:32lyx，代入22yx整理得：233504xx，设两根为1x和2x，则1253xx，故直线l被抛物线C截得的弦长12813Lxx.解法2：直线l被抛物线C截得的弦长22228sinsin603pL.二、题型精讲精练【题型训练-刷模拟】1.椭圆的焦半径和焦点弦公式一、单选题1．已知1F，2F是椭圆22:143xyC的两个焦点，点M在椭圆C上，当12MFMF取最大值时，三角形12MFF面积为（）A．23B．3C．2D．42．已知动点P在椭圆C：2212516xy上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足1MF，且MPMF，则PM的最小值为（）A．3B．2C．3D．13．已知椭圆22:143xyC的右焦点为F，若过F的直线l与椭圆C交于AB、两点，则AFBF的取值范围是（）A．1,24B．1,34C．1,33D．1,224．已知P为椭圆2211615yx上任意一点，EF为圆22:(1)1Nxy的任意一条直径，则PEPF的取值范围是（）A．[0,24]B．[8,24]C．(0,24)D．(8,24)5．已知O为坐标原点，椭圆22:143xyC的左、右焦点分别为1F、2F，P为第一象限内C上一点．若122PFPF，则直线OP的斜率为（）A．157B．4157C．154D．156．已知椭圆C：222210xyabab的右焦点为F，点P，Q为第一象限内椭圆上的两个点，且60OFPPFQ，2FPFQ，则椭圆C的离心率为（）A．12B．13C．23D．27．如图，椭圆22:154xyC的左､右焦点分别为1F，2F，过点1F，2F分别作弦AB，CD.若//ABCD，则12AFCF的取值范围为（）A．165,455B．165,455C．85,255D．85,4558．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为F，离心率为e．倾斜角为120的直线与C交于,AB两点，并且满足21ABAFBFe，则C的离心率为（）A．12B．33C．32D．639．已知椭圆2222:1xyCab(0)ab和2222:Oxyab，椭圆C的左右焦点分别为1F、2F，过椭圆上一点P和原点O的直线交圆O于M、N两点.若12||||4PFPF，则||||PMPN的值为（）A．2B．4C．6D．810．已知1F，2F分别是椭圆22:143xyC的左、右焦点，点P、Q是椭圆上位于x轴上方的两点，且12//PFQF，则12PFQF的取值范围为（）A．2,4B．3,4C．1,4D．1.5,4二、填空题11．已知椭圆C的离心率13e，左右焦点分别为12,FF，P为椭圆C上一动点，则12PFPF的取值范围为.12．已知椭圆2214xy，线段AB的两个端点,AB在椭圆上移动，且00||2,,ABMxy是AB的中点，则0x的最大值是．13．设1F、2F分别为椭圆F：22143xy的左、右两个焦点，过1F作斜率为1的直线，交于A、B两点，则22||||AFBF14．已知椭圆2222:1xyCab的左、右焦点分别为1F、2F，上顶点为D，且12120FDF，若第一象限的点A、B在C上，22AF，24BF，3AB，则直线AB的斜率为.15．若直线l：ykxm（其中0km）与圆221xy相切，与椭圆C：2214xy交于点11,Axy，22,Bxy，F为其右焦点，则ABF△的周长为.16．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左､右焦点分别为12,FF，离心率为e，点P在椭圆上，连接1PF并延长交C于点Q，连接2QF，若存在点P使2PQQF成立，则2e的取值范围为.2.双曲线的焦半径和焦点弦公式一、单选题1．已知双曲线2222:10,0xyCabab上的点到焦点的最小距离为1，且C与直线3yx无交点，则a的取值范围是（）A．3,B．1,C．1,2D．3,22．已知双曲线222:1(0)4xyCa的右支上的点0(Px，0)y满足121||3||(PFPFF，2F分别是双曲线的左右焦点），则00(cycx为双曲线C的半焦距）的取值范围是（）A．[42，)B．[2，25)2C．[42，25)2D．[2，42]3．已知双曲线222:104xyCbb的左、右焦点分别为1F，2F，过点2,0P作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且22PFFM，则双曲线C的离心率为（）A．43B．23C．83D．1534．已知动点P在双曲线C：2213yx上，双曲线C的左、右焦点分别为1F，2F，则下列结论：①C的离心率为2；②C的焦点弦最短为6；③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；④当动点P在双曲线C的左支上时，122PFPF的最大值为14．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题5．已知12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab.左，右焦点，若C上存在一点M，使得123MFMFMO成立，其中O是坐标原点，则C的离心率的取值范围是.6．设1F，2F分别是双曲线222:54Cxym的左、右焦点，过2F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且满足227AFFB（O是坐标原点），则直线l的斜率为.3.抛物线的焦半径和焦点弦公式一、单选题1．过抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F的直线l与抛物线交于,AB两点，且||2||AFBF，则直线l的斜率可能为（）A．3B．2C．22D．52．已知斜率为0kk的直线l过抛物线2:6Cyx的焦点F，与抛物线C交于A，B两点，过A，B作x轴的垂线，垂足分别为1A，1B，若112ABBABASS△△，则直线l的斜率k等于（）A．1B．3C．5D．223．过抛物线22(0)ypxp的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且5AFBF，则直线l的斜率是（）A．32B．52C．32D．524．过抛物线220ypxp的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交于A，B两点，若13AFBF，则直线AB的倾斜角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π65．已知抛物线C：22ypx（0p）的焦点为F，直线l的斜率为3且经过点F，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线C的准线交于点D，若4AF，则下列说法正确的是（）①2p；②F为AD的中点；③2BDBF；④2BF．A．①②B．②③C．③④D．①②③6．已知过抛物线220ypxp的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且2AFFB，抛物线的准线l与x轴交于点C，1AAl于点1A，若四边形1AACF的面积为52，则准线l的方程为（）A．2xB．22xC．2xD．=1x7．已知抛物线2:20Cypxp的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于,AB两点（点A在第一象限），与l交于点D，若3DBBF，6AF，则BF（）A．32B．3C．6D．128．过抛物线2:3Cyx的焦点F作直线交C于A，B，过A和原点的直线交34x于D，则ABD△面积的最小值为（）A．3B．2C．94D．23二、填空题9．已知F是抛物线C：220ypxp的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为线段FN的中点，且6FN，则p.10．已知抛物线2:2(0)Cypxp，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段AB的长是焦半径AP长的3倍，则直线AB的斜率为．11．已知O为坐标原点，抛物线2:8Cyx的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点（A位于第一象限），且||4||AFBF，则直线OA的斜率为．12．已知抛物线2:4Cyx的焦点F和准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且3FAFB，则AB13．已知抛物线220ypxp，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有3AFFB，准线与x轴交于点C，作A