素养拓展32 椭圆、双曲线中的焦点三角形问题（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展32椭圆、双曲线中的焦点三角形问题（精讲+精练）一、椭圆、双曲线中的焦点三角形面积公式1.如图1所示，1F、2F是椭圆的焦点，设P为椭圆上任意一点，记12FPF，则12PFF的面积2tan2Sb.证明：如图，由余弦定理知22221212122cos4FFPFPFPFPFc．①由椭圆定义知：122PFPF，②则②·2－①得21221cosbPFPF，122212112sinsintan221cos2FPFbSPFPFb△．当90时，1222tan45FPFSbb△．2.如图2所示，1F、2F是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记12FPF，则12PFF的面积2tan2bS.证明：如图，由余弦定理知2221212122cosPFPFPFPFFF，22121212122cos2PFPFPFPFPFPFFF，2212122cos222PFPFaPFPFc，22122cos14PFPFac，2212221cossin2bbPFPF，∴12221221sin2sincos2222sintan22FPFbbSPFPF△．当90时，1222tan45FPFSbb△．一、知识点梳理二、椭圆、双曲线的焦点三角形中的离心率1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出12PFF的三边长之比或内角正弦值之比.公式：1212121221sin22sinsinFFFPFcceaaPFPFPFFPFF2.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研究出12PFF的三边长之比或内角正弦值之比.公式：1212122112sin22sinsinFFFPFcceaaPFFPFFPFPF.【典例1】设1F、2F是椭圆22184xy的两个焦点，点P在椭圆上，1260FPF，则12PFF的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，12243tan4tan3023PFFSb.【典例2】已知双曲线22:13yCx的左、右焦点分别为1F、2F，点P在C上，且1260FPF，则12PFF的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，122333tan30tan2PFFbS.【典例3】（2018·新课标Ⅱ卷）已知1F、2F是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若12PFPF，且2160PFF，则C的离心率为（）A.312B.23C.312D.31【解析】解法1：如图，12PFPF，2160PFF，故可设122FF，则13PF，21PF，二、题型精讲精练所以C的离心率121223131FFePFPF.解法2：如图，2112126030PFFPFFPFPF121221sinsin9031sinsinsin30sin60FPFePFFPFF.【典例4】已知1F、2F是双曲线2222:1xyCab的左、右焦点，点P在C上，12PFPF，且1230PFF，则双曲线C的离心率为_______.【解析】解法1：如图，由题意，不妨设21PF，则13PF，122FF，所以121223131FFePFPF.解法2：如图，由题意，2160PFF，1290FPF，所以121221sin31sinsinFPFePFFPFF.【题型训练-刷模拟】1.椭圆中的焦点三角形①离心率公式的直接应用一、填空题1.设1F、2F是椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点，P在C上且1PFx轴，若1230FPF，则椭圆C的离心率为_______.2.在ABC中，ABAC，1tan3ABC，则以B、C为焦点，且经过点A的椭圆的离心率为_______.3.过椭圆222210xyabab的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，椭圆的右焦点为2F，若21cos8AFB，则椭圆的离心率为_______.4.在ABC中，2AB，1BC，且6090ABC，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率的取值范围为_______.5.在PAB中，PAAB，12tanPBA，则以A、B为焦点，且经过点P的椭圆的离心率为_______.6.设1F、2F是椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点，点P在C上，且1245PFF，214cos5PFF，则椭圆C的离心率为_______.7.在ABC中，30ABC，3AB，1BC，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率为_______.8.过椭圆2222:10xyCabab的左焦点F作x轴的垂线交椭圆C于A、B两点，若ABO是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为_______.9.设1F、2F是椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点，过1F且斜率为3的直线l与椭圆C交于A、B两点，212AFFF，则椭圆C的离心率为_______.10.设1F、2F是椭圆2222:10xyEabab的左、右焦点，以12FF为直径的圆与椭圆的4个交点和1F、2F恰好构成一个正六边形，则椭圆E的离心率为_______.11.已知P、Q为椭圆2222:10xyCabab上关于原点对称的两点，点P在第一象限，1F、2F是椭圆C的左、右焦点，2OPOF，若1133QFPF，则椭圆C的离心率的取值范围为_______.②综合应用一、单选题1．设12,FF为椭圆22:15xCy的两个焦点，点P在C上，若120PFPF，则12PFPF（）A．1B．2C．4D．52．已知1F、2F是椭圆2222:10xyCabab的两个焦点，P为椭圆C上一点，且12PFPF.若12PFF△的面积为9，则实数b的值为（）A．3B．4C．5D．63．已知1F，2F分别为椭圆22:11612xyC的两个焦点，P为椭圆C上的一点，则12PFF△内切圆半径的最大值为（）A．3B．223C．233D．24．已知点P在椭圆2222:1(0)xyCabab上，点12,FF分别为椭圆C的左､右焦点，并满足11,OPOFOPF面积等于4，则2b等于（）A．2B．4C．8D．165．已知一个离心率为12，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为1F，2F，在椭圆上存在一个点P，使得1260FPF，设12FPF△的内切圆半径为r，则r的值为（）A．36B．23C．22D．336．已知1200FcFc，，，是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若120PFPF，且122△PFFSc，则E的离心率为（）A．255B．63C．22D．327．设O为坐标原点，12,FF为椭圆22:196xyC的两个焦点，点P在C上，123cos5FPF，则||OP（）A．135B．302C．145D．3528．1F，2F是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是12PFF△的内切圆圆心，若12PFF△的面积等于12IFF△的面积的4倍，则椭圆C的离心率为（）A．13B．12C．22D．329．设F1，F2是椭圆C：2222xyab=1(ab0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1|=|PQ|，若PF1F2的面积为233b，则12||||PQFF=（）A．32B．233C．3D．43310．已知1F，2F分别是椭圆2222:1(0)xyEabab的左，右焦点，若在椭圆E上存在点M，使得12MFF的面积等于2122sinbFMF，则椭圆E的离心率e的取值范围为（）A．3,12B．30,2C．12,22D．2,1211．已知1F，2F分别是椭圆E：22221xyab（0ab）的左、右焦点，点M在椭圆E上，12FMF，12MFF△的面积为2sinb，则椭圆E的离心率e的取值范围为（）A．10,2B．20,2C．12,22D．2,1212．已知12,FF是椭圆221(1)1xymmm的左､右焦点，点A是椭圆上的一个动点，若12AFF△的内切圆半径的最大值是33，则椭圆的离心率为（）A．21B．12C．22D．31二、填空题13．已知椭圆22219xyb(03)b的两个焦点分别为12,FF，离心率为63，点P在椭圆上，若120PFPF，则12PFF△的面积为．14．P为椭圆222164xya+=上的一点,1F和2F是其左右焦点,若1260FPF,则12FPF△的面积为.15．设点P是椭圆22195xy上的点，1F，2F是该椭圆的两个焦点，若12PFF△的面积为52，则12sinFPF．16．已知点P是椭圆221259xy上的点，点12,FF是椭圆的两个焦点，若12FPF△中有一个角的大小为3，则12FPF△的面积为．17．已知椭圆222210xyabab的两个焦点分别为1F，2F，63ca，点P在椭圆上，若120PFPF，且12PFF△的面积为4，则椭圆的标准方程为．18．已知椭圆C:22143xy的焦点为1F，2F，第一象限点P在C上，且1294PFPF，则12PFF△的内切圆半径为.19．已知椭圆2222:10xyCabab的两个焦点分别为1F、2F，离心率为22，点P在椭圆上，若1260FPF，且12PFF△的面积为3，则C的方程为．20．12,FF是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是12PFF△的内切圆圆心，若12PFF△的面积等于12IFF△的面积的3倍，则椭圆C的离心率为.21．已知椭圆C：222210xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，若椭圆C上存在点M使三角形12MFF的面积为23b，则椭圆C的离心率e的取值范围是．2.双曲线中的焦点三角形①离心率公式的直接应用一、单选题1.已知1F、2F是双曲线2222:1xyEab的左、右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MFF，则E的离心率为（）A.2B.32C.3D.2二、填空题2.已知1F、2F是双曲线2222:1xyCab的左、右焦点，过1F且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若2ABF是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.3.已知1F、2F是双曲线2222:1xyCab的左、右焦点，点P在C上，1230PFF，212PFFF，则双曲线C的离心率为_______.4.已知1F、2F是双曲线2222:1xyCab的左、右焦点，过1F且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若2ABF是正三角形，则双曲线C的离心率为_______.5.过双曲线2222:1xyCab的左焦点F作x轴的垂线交C于A、B两点，若ABO是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.②综合应用一、单选题1．已知：双曲线2214xy的左、右焦点分别为1F，2F，点P为其右支上一点，若1260FPF，则12FPF的面积是（）A．1B．2C．3D．22．已知双曲线C：222210,0xyabab的左､右焦点分别是1F，2F，P是双曲线C上的一点，且15PF，23PF，12120FPF，则双曲线C的离心率是（）A．75B．7