专题10.3 两个计数原理、排列与组合（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题10.3两个计数原理、排列与组合题型一分类及分步的简单应用题型二排列数及组合数问题题型三捆绑法及插空法题型四倍缩法题型五隔板法题型六特殊元素法题型七染色问题题型八平均分组问题题型九部分平均分组问题题型一分类及分步的简单应用例1．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．90B．180C．270D．360【答案】B【分析】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏，由组合数计算即可.【详解】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏，其中1春2夏的不同情况有：1266CC90种；2春1夏的不同情况有：2166CC90种，所以小明选取节气的不同情况有：9090180种．故选：B．例2．有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有种不同的安排方法．（用数字回答）【答案】300【分析】解法一，分类考虑，化学是否被排在上午，根据分类加法原理求得答案；解法二，先排上午第四节，再排其余节次的课，根据分步乘法原理求得答案；解法三，利用间接法，即求出从6门课程中任意选4门安排在上午的排法，减去化学排在第四节课的排法数，即得答案.【详解】解法一，第一类：化学被选上，有1335AA180种不同的安排方法；第二类：化学不被选上，有45A120种不同的安排方法．故共有180120300种不同的安排方法，故答案为：300解法二，第一步：化学不排在第四节，故第四节有15A种排法；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第二步：其余三节有35A种排法，故共有1355AA560300种不同的安排方法，故答案为：300解法三（间接法）,从6门课程中任意选4门安排在上午，有46A种排法，而化学排第四节，有35A种排法，故共有4365AA36060300种不同的安排方法．故答案为：300练习1．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中据说有7部产生于魏晋南北朝时期．某校拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程的学习内容，则所选2部专著中至少有1部是魏晋南北朝时期的情况共有（）A．42种B．39种C．10种D．35种【答案】A【分析】根据题意分两种情况：一是所选的2部专著中有1部是魏晋南北朝时期的，二是所选的2部专著都是魏晋南北朝时期的，求出各个情况的方法数，然后利用分类加法原理可求得结果.【详解】根据题意分两种情况：一是所选的2部专著中有1部是魏晋南北朝时期的，有1173CC21种方法，二是所选的2部专著都是魏晋南北朝时期的，有27C21种方法，所以由分类加法原理可知共有212142种方法，故选：A练习2．甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，则共有种承包方式（用数字作答）.【答案】60【分析】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，再让乙承包2项，剩下的3项丙承包，根据分步乘法原理可求得结果.【详解】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，有16C6种，再让乙承包2项，有25C10，剩下的3项丙承包，所以由分步乘法原理可得共有61060种方案，故答案为：60资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】练习3．从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有种不同的选法.（用数字作答）【答案】480【分析】根据题意，可分为志愿组有3名男生，2名女生和志愿组有4名男生，1名女生，两类情况，结合分类计数原理，即可求解.【详解】由题意可知，当志愿组有3名男生，2名女生时，有3211253322CCCCA360种方法；当志愿组有4名男生，1名女生时，有41125342CCCA120种方法，由分类计数原理得，共有360120480种不同的选法.故答案为：480.练习4．2014年国务院印发《关于深化考试招生制度改革意见》，福建省在2021年高考进入“3+1+2”选科模式，即语文、数学、英语三门必考，物理和历史二选一，化学、政治、生物、地理四选二，在此规则下，学生共有种选科方式.【答案】12【分析】根据分步乘法原理，结合组合数公式，即可求解.【详解】依题意，根据计数乘法原理，有122443CC2122种方法.故答案为：12练习5．有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对夫妻和两个孩子），他们在乌鲁木齐租了两辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4人，要求每对夫妻乘坐同一辆汽车，且该车上至少有一个该夫妻自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为.【答案】10【分析】分两种情况考虑，即每个家庭乘坐一辆车和每对夫妻乘坐的车上恰有一个自己的孩子，根据分类加法原理即可得答案.【详解】由题意得当每个家庭各乘坐一辆车时，有2种乘车方案；当每对夫妻乘坐的车上恰有一个自己的孩子时，乘车方案种数为11222CC8，故满足条件的不同乘车方案种数为2810，故答案为：10题型二排列数及组合数问题资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】例3．已知2A30n（*Nn，且2n），则012C2CCnnn（）A．28B．42C．43D．56【答案】A【分析】先根据排列数得出n,再计算组合数即可.【详解】22*A130,30650,N6nnnnnnnnn,01201266665C2CCC2CC=1+26+=1+12+15=282nnn.故选:A.例4．（1）解不等式266A4Axx．（2）若2222345CCCC55n，求正整数n．【答案】（1）6；（2）7n.【分析】（1）根据排列数及排列数公式，计算即可；（2）根据组合数及组合数公式，计算即可．【详解】（1）由266A4Axx，可得06026xxxN，可得26,xxN.可得6!6!46!8!xx，所以4187xx，即215520xx，因为22152520，23153520，24154520，25155520，26156520，所以6x；（2）2222345CCCCn222233345CCCCC1n2224453C1CCCn25532CCC1n315C15n，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故33815CC6n，解得7n.练习6．（多选）满足不等式75A12AnnnN的n的值可能为（）A．12B．11C．8D．10【答案】ABD【分析】根据排列数公式得到不等式，解得n的取值范围，即可判断.【详解】由排列数公式得75A!(5)!(5)!56A(7)!!(7)!nnnnnnnnnn，依题意可得5612nn，解得9n或2n（舍去），又nN，所以n可以取10，11，12．故选：ABD．练习7．已知1211CA1nnn，求n.【答案】6【分析】利用组合数性质以及组合数公式和排列数公式，将1211CA1nnn化简并展开，解方程即可求得答案.【详解】由1211CA1nnn得2211CA1nn，即11212nnnn，即2760nn，解得1n，或6n，由21An知3n，故6n.练习8．计算：(1)若231212CCnn，求n(2)若2312CAnn，求n【答案】(1)3n或5n(2)8n【分析】（1）根据组合式的性质计算可得；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）根据排列数、组合数公式计算可得.【详解】（1）因为231212CCnn，所以23nn或2312nn+-=，解得3n或5n.（2）因为2312CAnn，所以1122112nnnnn，又3n，所以10nn，所以26n，解得8n.练习9．（1）解方程：112311CCCCnnnnnnnn（2）解不等式288A6Axx；【答案】（1）4n；（2）8x【分析】（1）利用组合数的性质及计算公式解方程作答.（2）利用排列数公式化简不等式，再求解不等式作答.【详解】（1）由组合数性质及112311CCCCnnnnnnnn，得2212311CCCCnnnn，而222322111121CCCCCCnnnnnn，则21122111211CCCCCCnnnnnn，因此122CCnn，即(1)2,22nnnn，解得4n，所以原方程的解为4n.（2）由288A6Axx，得0288xx且*Nx，解得28,Nxx，又8!8!68!10!xx，化简得219840xx，解得712x，因此8x，所以不等式288A6Axx的解为8x.练习10．（1）若32213A2A6Axxx，则x=.（2）不等式46CCnn的解集为.【答案】56,7,8,9【分析】（1）根据排列数公式即可求解；（2）根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可.【详解】（1）32213A2A6A,3xxxx且+Nx，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3122161xxxxxxx，化简得2317100xx，解得25,3xx（不合题意，舍去），5x；（2）∵46CCnn，∴!!4!4!6!6!6nnnnn，即291006nnn，解得610n.∵+Nn，∴6,7,8,9n.∴n的取值集合为6,7,8,9.故答案为：5；6,7,8,9.题型三捆绑法及插空法例5．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（）A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法【答案】D【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；利用特殊位置法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确；不相邻问题利用插空法可以判断D错误.【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有26C15种，A正确；对于B，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有554A480种，B正确；对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有3434AA144种，C正确；对于D，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有4245AA480种，D错误.故选：D.例6．澉浦“八大碗”是由两冷菜，三大菜，三热炒组成.今有人欲以其中的“东坡肉”“红烧羊肉”“醋鱼汤”“韭芽肉皮”“老笋干丝”“大蒜肉丝”共六道菜宴请远方来客，这六道菜要求依次而上，其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．480B．240C．384D．1440【答案】A【分析】应用排列数求出“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜的方法数