专题10.6离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题10.6离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差题型一离散随机变量题型二求分布列题型三分布列的性质应用题型四求离散随机变量的均值与方差题型五均值和方差的性质应用题型六决策问题题型一离散随机变量例1．下列叙述中，是离散型随机变量的为（）A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B．某人早晨在车站等出租车的时间C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性【答案】C【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为5，是常量，A错误；对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.故选：C.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】例2．（多选）下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的为（）A．高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数XB．一个沿直线yx进行随机运动的质点，它在该直线上的位置YC．某景点7月份每天接待的游客数量D．某人一生中的身高X【答案】AC【分析】根据离散型随机变量的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A：收费站在未来1小时内经过的车辆数X有限，且可一一列出，是离散型随机变量，故A正确对于选项C：某景点7月份每天接待的游客数量有限，且可一一列出，是离散型随机变量，故C正确；对于选项B、D，都是某一范围内的任意实数，无法一一列出，不符合离散型随机变量的定义，故B、D错误．故选：AC.练习1．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置；③某派出所一天内接到的报警电话次数X；④某同学上学路上离开家的距离Y．其中是离散型随机变量的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据离散型随机变量的定义判断即可.【详解】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；对于②，沿x轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B．练习2．(多选题)下列变量：①某机场候机室中一天的旅客数量为X；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X；③某水电站观察到一天中长江的水位为X；④某立交桥一天内经过的车辆数为X.其中是离散型随机变量的是（）A．①中的XB．②中的XC．③中的XD．④中的X【答案】ABD【分析】利用离散型随机变量的概念，对选项逐一分析判断即可得解.【详解】因为所有取值可以一一列出的随机变量为离散型随机变量，而①②④中的随机变量X的可能取值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量；而③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，因此它不是离散型随机变量.故选：ABD.练习3．(多选)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则3表示的可能结果为（）A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局平两局【答案】BC【分析】列举出3的所有可能的情况，由此得解.【详解】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以3有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：BC．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】练习4．下列随机变量中是离散型随机变量的是，是连续型随机变量的是（填序号）．①某机场候机室中一天的旅客数量X；②某水文站观察到一天中江水的水位X；③某景区一日接待游客的数量X；④某大桥一天经过的车辆数X.【答案】①③④②【分析】利用离散型随机变量的定义与连续型随机变量的定义判断求解．【详解】①③④中的随机变量X的所有取值，都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，故是连续型随机变量．故答案为：①③④，②练习5．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为.(1)写出的所有可能取值;(2)写出1所表示的事件.【答案】(1)的所有可能取值为0,1,2,3(2)1表示“第一次取得1件次品，第二次取得正品”【分析】（1）（2）利用离散型随机变量的定义即可求解.【详解】（1）因为一共有9个正品，3个次品零件，所以取得正品前已取出的次品数可能为0,1,2,3，即的所有可能取值为0,1,2,3.（2）依题意，可知1表示“第一次取得1件次品，第二次取得正品”.题型二求分布列例3．（多选）已知随机变量ξ的分布列为：ξ－2－10123P112312412112212112若211()12Px，则实数x的值可以是（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．5B．7C．9D．10【答案】ABC【分析】根据随机变量ξ的分布列，求出随机变量2的分布列，再找出满足211()12Px的x即可.【详解】由随机变量的分布列，知：2的可能取值为0,1,4,9，且24(0)12P，2314(1)121212P，2123(4)121212P，21(9)12P，则244311(4)12121212P，2(9)1P.若211()12Px，则实数x的取值范围是49x.故选：ABC.例4．不透明的盒子中有6个球，其中4个绿球，2个红球，这6个小球除颜色外完全相同，每次不放回的从中取出1个球，取出红球即停.记X为此过程中取到的绿球的个数.(1)求2PX；(2)写出随机变量X的分布列，并求EX.【答案】(1)15(2)分布列见解析，43EX【分析】（1）2X表示第一、二次抽取的都是绿球，第三次抽取红球，结合独立事件的概率乘法公式可求得2PX的值；（2）分析可知，X的可能取值有0、1、2、3、4，求出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，进而可求得EX的值.【详解】（1）解：2X表示第一、二次抽取的都是绿球，第三次抽取红球，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，43216545PX.（2）解：由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3、4，21063PX，42416515PX，125PX，432223654315PX，432114654315PX，所以，随机变量X的分布列如下表所示：X01234P1341515215115所以，14121401234315515153EX练习6．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且此人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，则()E等于．【答案】1.48【分析】ξ的取值有1，3，计算出其分布列，再利用期望公式即可得到答案.【详解】随机变量ξ的取值有1，3两种情况，3表示三个景点都游览了或都没有游览，所以(3)0.40.50.60.60.50.40.24P，(1)10.240.76P，所以随机变量的分布列为：13P0.760.24()10.7630.241.48E．故答案为：1.48.练习7．掷两颗骰子，用X表示两点数差的绝对值.求X的分布.【答案】答案见详解.【分析】通过列举法求概率，然后可得分布列.【详解】记掷两颗骰子所得点数分别为m，n，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则样本空间,|,1,2,3,4,5,6mnmn，nX的取值为0,1,2,3,4,5.当X0时，包含样本点1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6，所以610366PX；当1X时，包含样本点1,2,2,1,2,3,3,2,3,4,4,3,4,5,5,4,5,6,6,5，所以10513618PX；当2X时，包含样本点1,3,3,1,2,4,4,2,3,5,5,3,4,6,6,4，所以822369PX；当3X时，包含样本点1,4,4,1,2,5,5,2,3,6,6,3，所以613366PX；当4X时，包含样本点1,5,5,1,2,6,6,2，所以414369PX；当5X时，包含样本点1,6,6,1，所以2153618PX.所以，X的分布列为：X012345P16518291619118练习8．同时抛掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．设两颗骰子中出现的点数分别为12,XX，记12max,XXX．(1)求X的概率分布；(2)求25PX.【答案】(1)答案见解析(2)13【分析】（1）根据题意分析可知：X的可能取值为1，2，3，4，5，6，结合古典概型求分布列；（2）根据题意可知2534PXPXPX，结合（1）中数据运算求解.【详解】（1）依题意易知抛掷两颗骰子出现的点数有36种等可能的情况：1,1,1,2,1,31,41,5,1,62,1,,6,5,6,6,,,．因而X的可能取值为1，2，3，4，5，6，详见下表：X的值出现的点样本点个数资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11,1121,2,2,2,2,1331,32,33,3,3,23,1,,,541,4,2,4,3,44,44,3,4,24,1,,,751,5,2,5,3,54,55,5,5,45,3,5,3,5,2,5,1,,,961,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6,6,5,6,4,6,3,6,2,6,111由古典概型可知X的概率分布如下表所示．X123456P1363365367369361136（2）由题意可知：571253436363PXPXPX.练习9．同学甲进行一种闯关游戏，该游戏共设两个关卡，闯关规则如下：每个关卡前需先投掷一枚硬币，若正面朝上，则顺利进入闯关界面，可以开始闯关游戏；若反面朝上，游戏直接终止，甲同学在每次进入闯关界面后能够成功通过关卡的概率均为23，且第一关是否成功通过都不影响第二关的进行．(1)同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率；(2)同学甲成功通过关卡的个数为，求的分布列．【答案】(1)19(2)分布列见解析【分析】（1）在游戏终止时成功通过两个关卡，即各关前投币均正面向上，且两关卡都成功通过；（2）按求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤进行，同学甲成功通过关卡的个数的值为0，1，2，明确各取值所表示的意义，再求概率取值，最后写出分布列即可.【详解】（1）同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率1212123239P．（2）同学甲成功通过关卡的个数的值为0，1，2，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】111111111102232232318P，1211211512232232318P，