专题3.2 函数的单调性与最值（解析版）

专题3.2函数的单调性与最值题型一判断函数单调性题型二求函数的单调区间题型三函数的最值问题题型四恒成立问题与存在性问题题型五利用函数的单调性求参数的取值范围题型六利用单调性解不等式题型一判断函数单调性例1．（2022秋·云南红河·高一校考阶段练习）函数2fxxx的单调递增区间为（）A．0,1B．1,2C．1,2D．10,2【答案】D【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断法则：“同增异减”即可求解.【详解】令20txx，解得2fxxx的定义域为0,12txx在10,2上递增，在1,12上递减，函数yt在0,上为增函数函数2fxxx的单调增区间为10,2故选：D例2．（2023·浙江·高二专题练习）下列函数在区间0,2上单调递增的是（）A．2(2)yxB．12yxC．sin2yxD．cos2yx【答案】D【分析】对于BCD，根据各个选项观察均是()fx向右平移两个单位长度的形式，根据原函数的单调区间可以判断平移后的单调区间，进而判断(0,2)上的单调性得到结论，而根据二次函数的单调性可判断A的正误.【详解】对于A选项：2(2)yx开口向上，对称轴2x，所以在(,2)上单调递减，故不符合题意.对于B选项：12yx是1yx向右平移了两个单位长度，所以在在(,2)上单调递减，故不符合题意.对于C选项：sin2yx是sinyx向右平移了两个单位长度，所以sin2yx在3ππ(2,2)22上单调递减，在ππ(2,2)22上单调递增，因为π0222，所以不符合题意.对于D选项：cos2yx是cosyx向右平移了两个单位长度，所以cos2yx在(π2,2)上单调递增，则在(0,2)上单调递增，符合题意.故选D.练习1．（2023春·福建福州·高三校考期中）（多选）函数fx是定义在22,上的偶函数，fx在2,0上的图象如图所示，则函数fx的增区间是（）A．22,B．2,1C．0,1D．1,2【答案】BC【分析】根据函数图象，结合函数的奇偶性得到()fx的单调增区间即可.【详解】由图象，可知fx在2,1上单调递增，在1,0上单调递减.因为函数fx是定义在22,上的偶函数，所以函数()fx的图象关于y轴对称，所以fx在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，所以函数fx的增区间是2,1和0,1.故选：BC.练习2．（2022·高三单元测试）（多选）下列函数中，在(,0)上为增函数的是（）A．||1yxB．||xyxC．2||xyxD．||xyxx【答案】CD【分析】在A中， 1yx，即可得到单调性；在B中， 1y，即可得到单调性；在C中， yx，即可得到单调性；在D中， 1yx，即可得到单调性.【详解】在A中，当0x时，11yxx在(,0)上为减函数；在B中，当0x时，1xyx在(,0)上既不是增函数，也不是减函数；在C中，当0x时，2xyxx在(,0)上是增函数；在D中，当0x时，1xyxxx在(,0)上是增函数.故选：CD练习3．（2023·四川·高三统考对口高考）在定义域内单调递减的函数是（）A．2xyB．lnyxC．sin2yxD．3yx【答案】A【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.【详解】函数2xy在定义域R上单调递减，故A符合；函数lnyx在定义域0,上单调增，故B不符合；函数sin2yx在定义域R上不是单调函数，故C不符合；函数3yx在定义域R上单调递增，故D不符合.故选：A.练习4．（2020秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）下列四个函数中，在区间0,上为增函数的是（）A．3fxxB．21fxxC．1fxxD．22fxxx【答案】D【分析】根据一次函数、二次函数、反比练习函数的性质判断每个选项的函数在0,上的单调性，即可得答案.【详解】对A，一次函数3fxx在0,上为减函数，A错误；对B，二次函数21fxx在0,1上为减函数，在1,上为增函数，B错误；对C，反比练习函数1fxx在0,上为减函数，C错误；对D，二次函数22fxxx在0,上为增函数，D正确.故选：D.练习5．（2022秋·浙江温州·高三校考期中）函数3fxx单调减区间是___________.【答案】,3【分析】画出函数3fxx的图像，从图像上即可得结论.【详解】由3,333,3xxfxxxx，如图所示：由图可知函数3fxx单调减区间是：,3，故答案为：,3.题型二求函数的单调区间例3．已知函数2fxxx(1)作出函数fx的图象；(2)写出函数fx的单调区间；(3)当0,1x时，求fx的值域.【答案】(1)见解析(2)单调增区间为,0,1,，单调减区间为0,1(3)1,0【分析】（1）根据二次函数的图象作图即可；（2）根据函数图象写出单调区间即可；（3）根据函数在0,1x上的单调性，即可得出答案.【详解】（1）解：222,022,0xxxfxxxxxx，作出函数图象，如图所示：（2）解：由图可得：函数的单调增区间为,0,1,，单调减区间为0,1；（3）解：因为函数在0,1x上递减，所以maxmin00,11fxffxf，所以fx的值域为1,0.例4．（2023·高一课时练习）函数21yx的单调减区间是______．【答案】1(,]2【分析】根据条件将函数化为121,2121,2xxyxx，然后根据一次函数的单调性即可求解.【详解】因为函数21yx可化为121,2121,2xxyxx，当12x时，函数21yx单调递减；当12x时，函数21yx单调递增，所以函数21yx的单调递减区间为1(,]2，故答案为：1(,]2.练习6．（2022秋·广西桂林·高三校考期中）函数21yx的单调增区间是______.【答案】12，【分析】由函数解析式作出图像，结合图像判断单调区间.【详解】函数21yx的图像如下：由图像其单调递增区间是1,2,故答案为：1,2.练习7．（2022秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）函数()2(1)fxxx的单调增区间是___________.【答案】1,2和2,【分析】先分类讨论，去掉绝对值符号，然后利用二次函数的开口方向和对称轴判断单调递增区间即可.【详解】当2x时，2()2(1)2fxxxxx，此时fx开口向上，对称轴为12x，因为2x，所以在2,上单调递增；当2x时，2()2(1)2fxxxxx，此时fx开口向下，对称轴为12x，因为2x，所以在1,2单调递增；故答案为：1,2和2,练习8．（2023秋·上海浦东新·高三校考期末）函数10yxxx的增区间为______.【答案】1,【分析】利用定义法进行判断即可得解.【详解】任取210xx，1221212121211212111()()(1)xxyyxxxxxxxxxxxx，因为210xx，210xx，当211xx时，1211xx，12110xx，此时210yy，21yy，10yxxx为增函数，所以函数10yxxx的增区间为1,.故答案为：1,练习9．（2023秋·吉林·高一吉林省实验校考期末）函数20.5log4yxx的单调递增区间是（）A．2,4B．2,C．0,2D．,2【答案】A【分析】讨论二次函数和复合函数的单调性即可.【详解】令240xx解得04x，即函数20.5log4yxx的定义域为0,4，因为二次函数24yxx在0,2单调递增，2,4单调递减，所以20.5log4yxx在0,2单调递减，2,4单调递增，故选:A.练习10．（2022·全国·高三专题练习）函数2145yxx的单调递增区间是______.【答案】,5【分析】先求出函数的定义域，在定义域内，根据二次函数、幂函数及复合函数的单调性即可求出该函数的增区间．【详解】由2450xx得5x或1x，∴函数2145yxx的定义域为,51,．∵函数245yxx在,5上单调递减，在1,上单调递增，又∵函数1yx在其定义域0,上单调递减，∴函数2145yxx在,5上单调递增，在1,上单调递减．故答案为：,5．题型三函数的最值问题例5．（2023·高三课时练习）已知函数22fxxaxxR有最小值，则实数a的取值范围是______.【答案】22,【分析】化简函数，去绝对值后，根据函数有最小值得出函数的变化趋势，即可求出实数a的取值范围.【详解】解：由题意，在22fxxaxxR中，24,224,2axxfxaxx∵函数有最小值，∴函数应在,2上单调递减，在2,上单调递增或常函数，∴2020aa，解得：22a，∴fx有最小值时，实数a的取值范围是22,.故答案为：22,.例6．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数2245xyx的最大值为______.【答案】25/0.4【分析】依题意可得2222411544xyxxx，根据对勾函数的性质求出22144xx的取值范围，即可得解.【详解】因为222222441154144xxyxxxx，令24tx，则2t，令1gxxx，2,x，因为函数1gxxx在2,上单调递增，所以5,2gx，即22154,24xx，则22120,1544xx，即函数2245xyx的最大值为25，当且仅当0x时取等号.故答案为：25练习11．（2023·全国·高三专题练习）函数243yxx在区间1,m上有最小值-1，则实数m的取值范围是______．【答案】2,【分析】配方后得到2x时，243yxx取到最小值-1，从而2m.【详解】224321yxxx，要想取到最小值-1，则21,m，所以2m.故答案为：2,.练习12．（2022春·浙江嘉兴·高二校考期中）函数243yxxa的最大值为负值，则a的取值范围为（）A．10aB．1aC．1a或10aD．a＞4【答案】B【分析】根据二次函数的性质即得.【详解】∵243yxxa的二次项系数为10，∴函数图象开口向下，∵函数243yxxa的最大值为负值，∴16430a，∴1a.故选：B．练习13．（2022秋·高一课时