专题3.7 函数的图象及零点问题（解析版）

专题3.7函数的图象及零点问题题型一函数图象的识别题型二函数图象的变换题型三利用函数图象解决不等式题型四确定零点所在区间题型五零点存在定理判断零点个数题型六利用图象交点的个数判断零点个数题型七根据函数零点所在区间求参数的取值范围题型八根据函数零点个数求参数的取值范围题型九求零点的和题型十镶嵌函数的零点问题题型一函数图象的识别例1．（2022秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）（多选）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢，反之变化的快，再由图象越平缓就变化越慢，图象陡就变化快来判断.【详解】对于A，易知水面高度的增加是均匀的，所以A不正确；对于B，h随t的增大而增大，且增大的速度越来越慢，所以B正确；对于C，h随t的增大而增大，增大的速度先越来越慢，后越来越快，所以C正确；对于D，h随t的增大而增大，增大的速度先越来越快，后越来越慢，所以D正确.故选：BCD.例2．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）函数11lnfxxx的大致图象是（）．A．B．C．D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性公式运算发现函数fx为非奇非偶函数，排除A；易知当1x时，0fx，故排除C；观察B，D选项，发现它们的主要区别是当1,00,1xU时，fx的图象在y轴两侧的变化趋势不同，故联想到利用特殊值进行检验，即可得出结果.【详解】解：易知函数fx的定义域为01xxx且，因为111ln1lnfxxxxx，所以函数fx为非奇非偶函数，排除A；易知当1x时，0fx，故排除C；因为1223ln2f，122ln2f，所以1122ff，所以排除D．故选：B．练习1．（2023春·北京·高二北京市广渠门中学校考阶段练习）已知函数2e1xfxx，则fx的大致图像为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】通过特殊点的函数值，用排除法选择正确选项.【详解】110ef，1e40f，222e30f，排除选项ABD.故选：C.练习2．（2023·全国·高三专题练习）函数113xxfxx的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用特殊值法逐项进行排除即可求解.【详解】由10f，排除A，D．当1x时，1130xx，所以0fx，排除C．故选：B．练习3．（2022·全国·高三专题练习）如图，长方形ABCD的边2AB，1BC，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动P到A、B两点距离之和表示为x的函数()fx，则()yfx的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出分段函数的解析式，根据函数图像，利用排除法进行求解即可.【详解】由已知得,当点P在BC边上运动时,即04x时,2tan4tanPAPBxx；当点P在CD边上运动时,即3,442xx时,22111111tantanPAPBxx,当2x时,22PAPB；当点P在AD边上运动时,即34x时,2tan4tanPAPBxx.从点P的运动过程可以看出,轨边关于直线2x对称,且42ff,且轨迹非线型，对照四个选项，排除A、C、D，只有B符合.故选：B.练习4．（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是（）A．22sin1xyxB．321xxyxC．22cos1xxyxD．3231xxyx【答案】D【分析】利用赋值法，结合图形和排除法即可判断ABC；利用导数和零点的存在性定理研究函数的单调性，结合图形即可判断D.【详解】A：设22sin1xfxx，由π3π2得sin30，则2sin33010f，结合图形，不符合题意，故A错误；B：设321xxgxx，则10g，结合图形，不符合题意，故B错误；C：设22cos()1xxhxx，当π0,2x时，cos[0,1]x，212xx，所以222cos20111xxxxx，即0()1hx，当且仅当1x时等号成立，结合图形，不符合题意，故C错误；D：设323()1xxuxx(0)x，则422263()(1)xxuxx(0)x，设42()63vxxx(0)x，则3()4120vxxx，所以函数()vx在(0,)上单调递减，且(0)30,(1)40vv，故存在0(0,1)x，使得0()0vx，所以当0(0,)xx时()0vx，即()0ux，当0(,)xx时()0vx，即()0ux，所以函数()ux在0(0,)x上单调递增，在0(,)x上单调递减，结合图形，符合题意，故D正确.故选：D.练习5．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）函数ln1ln1fxxxx的部分图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】分析函数fx的定义域、奇偶性及其在0,1上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数ln1ln1fxxxx，有1010xx，可得11x，所以，函数fx的定义域为1,1，1,1x，ln1ln1ln1ln1fxxxxxxxfx，所以，函数fx为偶函数，排除AB选项；当01x时，110xx，则ln1ln1xx，此时ln1ln10fxxxx，排除D选项.故选：C.题型二函数图象的变换例3．（2022·全国·高三专题练习）把抛物线2yx向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为___________【答案】2(1)3yx【分析】根据二次函数的图象平移规律可得答案.【详解】把抛物线2yx向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：2(1)3yx.故答案为：2(1)3yx.例4．（2023·全国·高三专题练习）作出下列函数的图象：(1)22xy；(2)13log32yx；(3)12logyx.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）先作出函数2xy的图象，根据函数图象变换可作出函数22xy的图象；（2）先作出函数3logyx的图象，根据函数图象变换可作出函数13log32yx的图象；（3）先作出函数12logyx的图象，根据函数图象变换可作出函数12logyx的图象.(1)解：作函数2xy的图象关于x轴对称的图象，得到函数2xy的图象，再将所得图象向上平移2个单位，可得函数22xy的图象，如下图所示：(2)解：因为1333log32log32log21yxxx，所以可以先将函数3logyx的图象向左平移2个单位，可得函数3log2yx的图象，再作所得图象关于x轴对称的图象，得函数3log2yx的图象，最后将所得图象向下平移1个单位，得函数3log21yx的图象，即为函数13log32yx的图象，如下图所示：(3)解：作函数12logyx的图象关于y轴对称的图象，得函数12logyx的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得到函数12logyx的图象，如下图所示：练习6．（2022·全国·高三专题练习）若函数41xy在(,]k上单调递减，则k的取值范围为____________．【答案】(,0]【分析】先画出函数41xy，再根据函数在(,]k上单调递减求解.【详解】解：因为函数41xy的图象是由函数4xy的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示：由图象知，其在(,0]上单调递减，所以k的取值范围是(,0]．故答案为：(,0]练习7．（2022秋·甘肃白银·高三校考阶段练习）作出下列函数图象(1)12xy(2)2log1yx【答案】(1)答案见详解(2)答案见详解【分析】（1）利用函数奇偶性和指数函数的图像即可画出函数图像；（2）根据函数图像的平移和翻折结合对数函数图像即可得解.【详解】（1）因为1()2xyfx，所以11()()22xxfxfx，所以函数为偶函数，关于y轴对称，因此只需要画0x时的函数图形即可，11()==22xxfx，再利用对称性即可得解.（2）将函数2logyx的图象向左平移1个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数2log1yx的图象,如图所示.练习8．（2023秋·四川资阳·高三校考期末）已知函数2141,02,0xxxxfxx，若方程0fxa恰好有三个实数根，则实数a的取值范围是__________.【答案】12a【分析】作出函数的图象，原题可转化为函数yfx与ya的图象有三个交点时，求数a的取值范围的问题，数形结合即可得出.【详解】函数2141,02,0xxxxfxx的图象如图所示，因为0fxa恰好有三个实数根，即函数yfx与ya的图象有三个交点，由图象可知，实数a的取值范围是12a.故答案为：12a.练习9．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数()fx的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线4xy关于直线1x对称，则12f（）A．4B．3C．2D．4【答案】D【分析】根据函数24xy的图象与函数4xy的图象关于直线1x对称，再利用函数平移变换法则求出函数()fx的解析式，进而可得答案.【详解】函数24xy的图象与函数4xy的图象关于直线1x对称，将24xy的图象向下平移4个单位长度得到244xy的图象，再将244xy的图象向左平移1个单位长度得到2(1)14444xxy的图象，即1()44xfx，故11214442f.故选:D.练习10．（2023秋·重庆·高三校联考期末）函数12,01,02xxxfxx若123xxx,且123fxfxfx,则2312xfxxx的取值范围是（）A．10,4B．10,4C．10,2D．10,2【答案】B【分析】根据解析式画出图象,由123fxfxfx判断123,,xxx的范围,再由12fxfx得出12,xx的关系,由23fxfx,及2x的范围,将3fx化为关于2x的式子,将上述等式代入2312xfxxx中得到关于2x的二次函数,根据2x的范围求值域即可.【详解】解:由题知12,01,02xxxfxx,所以2,402ff,画出fx图象如下:由图象可知:1234