专题4.10 函数与导数（2021-2023年）真题训练（解析版）

专题4.10函数与导数真题训练第一部分：函数1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若21ln21xfxxax为偶函数，则a（）．A．1B．0C．12D．1【答案】B【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.【详解】因为()fx为偶函数，则1(1)(1)(1)ln(1)ln33ffaa，，解得0a，当0a时，21ln21xxxfx，21210xx，解得12x或12x，则其定义域为12xx或12x，关于原点对称.121212121lnlnlnln21212121fxxxxxxxxxfxxxxx，故此时fx为偶函数.故选：B.2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知e()e1xaxxfx是偶函数，则a（）A．2B．1C．1D．2【答案】D【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为ee1xaxxfx为偶函数，则1eeee0e1e1e1axxxxaxaxaxxxxfxfx，又因为x不恒为0，可得1ee0axx，即1eeaxx，则1xax，即11a，解得2a.故选：D.3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数2(1)exfx．记236,,222afbfcf，则（）A．bcaB．bacC．cbaD．cab【答案】A【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令2()(1)gxx，则()gx开口向下，对称轴为1x，因为63634112222，而22(63)4962166270，所以636341102222，即631122由二次函数性质知63()()22gg，因为62624112222，而22(62)4843164384(32)0，即621122，所以62()()22gg，综上，263()()()222ggg，又exy为增函数，故acb，即bca.故选：A.4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数(),()fxgx的定义域均为R，且()(2)5,()(4)7fxgxgxfx．若()ygx的图像关于直线2x对称，(2)4g，则221kfk（）A．21B．22C．23D．24【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2fxfx，从而得到352110fff，462210fff，然后根据条件得到(2)f的值，再由题意得到36g从而得到1f的值即可求解.【详解】因为()ygx的图像关于直线2x对称，所以22gxgx，因为()(4)7gxfx，所以(2)(2)7gxfx，即(2)7(2)gxfx，因为()(2)5fxgx，所以()(2)5fxgx，代入得()7(2)5fxfx，即()(2)2fxfx，所以35212510fff，46222510fff.因为()(2)5fxgx，所以(0)(2)5fg，即01f，所以(2)203ff.因为()(4)7gxfx，所以(4)()7gxfx，又因为()(2)5fxgx，联立得，2412gxgx，所以()ygx的图像关于点3,6中心对称，因为函数()gx的定义域为R，所以36g因为()(2)5fxgx，所以1531fg.所以221123521462213101024()kfffffffffk.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.5．（2023年新高考天津数学高考真题）若0.50.60.51.01,1.01,0.6abc，则,,abc的大小关系为（）A．cabB．cbaC．abcD．bac【答案】D【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由1.01xy在R上递增，则0.50.61.011.01ab，由0.5yx在[0,)上递增，则0.50.51.010.6ac.所以bac.故选：D6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数2xxafx在区间0,1上单调递减，则a的取值范围是（）A．,2B．2,0C．0,2D．2,【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数2xy在R上单调递增，而函数2xxafx在区间0,1上单调递减，则有函数22()()24aayxxax在区间0,1上单调递减，因此12a，解得2a，所以a的取值范围是2,.故选：D7．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数()fx的定义域为R，且()()()(),(1)1fxyfxyfxfyf，则221()kfk（）A．3B．2C．0D．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的1,2,,6fff的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为fxyfxyfxfy，令1,0xy可得，2110fff，所以02f，令0x可得，2fyfyfy，即fyfy，所以函数fx为偶函数，令1y得，111fxfxfxffx，即有21fxfxfx，从而可知21fxfx，14fxfx，故24fxfx，即6fxfx，所以函数fx的一个周期为6．因为210121fff，321112fff，4221fff，5111fff，602ff，所以一个周期内的1260fff．由于22除以6余4，所以221123411213kfkffff．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由fxyfxyfxfy，联想到余弦函数和差化积公式coscos2coscosxyxyxy，可设cosfxax，则由方法一中02,11ff知2,cos1aa，解得1cos2，取3，所以2cos3fxx，则2cos2cos4coscos333333fxyfxyxyxyxyfxfy，所以2cos3fxx符合条件，因此()fx的周期263T，02,11ff，且21,32,41,51,62fffff，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0ffffff，由于22除以6余4，所以221123411213kfkffff．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.8．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数1()12xfx，则对任意实数x，有（）A．()()0fxfx-+=B．()()0fxfxC．()()1fxfxD．1()()3fxfx【答案】C【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】1121112121212xxxxxfxfx，故A错误，C正确；11212121121212122121xxxxxxxxfxfx，不是常数，故BD错误；故选：C．9．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知910,1011,89mmmab，则（）A．0abB．0abC．0baD．0ba【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log101m，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m，8log9m，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m可得9lg10log101lg9m，而222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022，所以lg10lg11lg9lg10，即lg11m，所以lg11101110110ma.又222lg8lg10lg80lg8lg10lg922，所以lg9lg10lg8lg9，即8log9m，所以8log989890mb.综上，0ab.［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m，可得9log10(1,1.5)m．根据,ab的形式构造函数()1(1)mfxxxx，则1()1mfxmx，令()0fx，解得110mxm，由9log10(1,1.5)m知0(0,1)x.()fx在(1,)上单调递增，所以(10)(8)ff，即ab，又因为9log10(9)9100f，所以0ab.故选：A.【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,ab的形式构造函数()1(1)mfxxxx，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．10．（2022年新高考北京数学高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（）A．当220T，1026P时，二氧化碳处于液态B．当270T，128P时，二氧化碳处于气态C．当300T，9987P时，二氧化碳处于超临界状态D．当360T，729P时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【分析】根据T与lgP的关系图可得正确的选项.【详解】当220T，1026P时，lg3P，此时二氧化碳处于固态，故A错误.当270T，128P时，2lg3P，此时二氧化碳处于液态，故B错误.当300T，9987P时，lgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.当360T，729P时，因2lg3P,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D11．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知5log2a，8log3b，12c，则下列判断正确的是（）A．cbaB．bacC．acbD．abc【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.【详解】55881log2log5log22log32ab