专题4.3 含参函数的单调性（解析版）

专题4.3含参函数的单调性题型一求导后为一次函数型题型二求导后为指数型题型三求导后为对数型题型四求导后为二次可因式分解型题型五求导后为二次不可分解型题型六求导后为二次指数型题型七二次求导题型一求导后为一次函数型例1．（2022秋·福建泉州·高三校考开学考试）已知函数4ln1ln2,xafxxaxgxx.(1)求函数fx的极值点；【详解】（1）由题意可得：11axfxaxx，且fx的定义域为0,，当0a时，则0fx当0x时恒成立，故fx在0,内单调递增，即fx无极值点；当0a时，令()0fx¢，解得1xa，故fx在10,a上单调递增，在1,a上单调递减，则fx有极大值点1a，无极小值点；综上所述：当0a时，fx无极值点；当0a时，fx有极大值点1a，无极小值点.例2．（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）已知函数ln2fxxax.(1)讨论函数()fx的单调性；【详解】（1）1122axfxaxx.当0a时，120axfxx，所以fx在0,上单调递增；当0a时，令120axfxx，解得12xa，当10,2xa时，120axfxx；当1,2xa时，120axfxx；所以fx10,2a上单调递增，在1,2a上单调递减；练习1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数21e.xfxmx(1)讨论函数fx的单调性；【详解】（1）由2222e21ee21e22xxxxfxmmxmmxmxm，令0fx，得22mxm，当0m时，22e0xfx，fx单调递减，当0m时，方程22mxm的根为22mxm，若0m，则在2,2mm上，0fx，fx单调递减，在2,2mm上，()0fx¢，fx单调递增，若0m，则在2,2mm上，()0fx¢，fx单调递增，在2,2mm上，0fx，fx单调递减，综上所述，当0m时，fx在R上单调递减，若0m，fx在2,2mm上单调递减，在2,2mm上单调递增，若0m，fx在2,2mm上单调递增，在2,2mm上单调递减．练习2．（2023春·贵州铜仁·高二校考阶段练习）已知函数()ln()ln2Rafxaxxgxxax,,(1)讨论函数()gx的单调性;【详解】（1）函数()gx的定义域是(0,)，221()axagxxxx，当a0时，()0gx恒成立，则函数()gx在(0,)上单调递增；当a0时，由()0gx得0xa，由()0gx得xa，即函数()gx在(0,)a上单调递减，在(,)a上单调递增，所以当a0时，函数()gx的递增区间是(0,)；当a0时，函数()gx的递减区间是(0,)a，递增区间是(,)a.练习3．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知函数ln2fxxax.(1)讨论函数()fx的单调性；【详解】（1）1122(0)axfxaxxx.当0a时，120axfxx，所以fx在0,上单调递增；当0a时，令120axfxx，解得12xa，当10,2xa时，120axfxx；当1,2xa时，120axfxx；所以fx在10,2a上单调递增，在1,2a上单调递减；练习4．（2023春·河北衡水·高二校考阶段练习）已知函数1e02xfxaxa．(1)讨论函数fx的单调性；【详解】（1）解：函数1e02xfxaxa的定义域为R，1exfxax.当0a时，由0fx可得1x，由()0fx¢可得1x，此时函数fx的减区间为,1，增区间为1,；当a0时，由0fx可得1x，由()0fx¢可得1x，此时，函数fx的增区间为,1，减区间为1,.综上所述，当0a时，函数fx的减区间为,1，增区间为1,；当a0时，函数fx的增区间为,1，减区间为1,.练习5．（2023春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知函数lnfxxax．(1)求fx的单调区间．【详解】（1）因为lnfxxax，0x，所以11axfxaxx（ⅰ）当0a时，()0fx¢恒成立，fx在0,单调递增；（ⅱ）当0a时，令0fx得，1xa，故10,xa时，()0fx¢，fx在10,a单调递增；1,xa时，0fx，fx在1,a单调递减；题型二求导后为指数型例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1eln21,1ln,0xfxaxgxaxa.(1)讨论fx的单调性；【详解】（1）函数1eln21xfxax的定义域为0,.因为1eln21xfxax，所以1eln2xfxa.当2ea时，()0fx¢恒成立，故fx在R上单调递增.当20ea时，令0fx，解得1ln2lnxa.当,1ln2lnxa时，0fx，当1ln2ln,xa时，()0fx¢.所以fx的单调递增区间为1ln2ln,a，单调递减区间为,1ln2lna.例4．（2021春·陕西咸阳·高二统考期中）已知函数21e,R2xfxaxxa.(1)设gxfx，其中fx是fx的导函数，讨论函数gx的单调性；【详解】（1）由题知e1xgxax，则exgxa，①当0a时，0gx在R上恒成立，故函数gx在R上递增；②当0a时，令0gx，解得lnxa，令0gx，解得lnxa；故gx在,lna上递减，在ln,a上递增，综上：当0a时，gx在R上递增；当0a时，gx在,lna上递减，在ln,a上递增..练习6．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知函数e2Rxfxaxa．(1)讨论函数fx的单调区间；【详解】（1）e2Rxfxaxa，函数定义域为R，e2xfxa，若0a，则()0fx¢，fx在R递增，若0a，0fx，解得：ln2xa，()0fx¢，解得：ln2xa，∴fx在(,ln2)a单调递减，在(ln2,)a单调递增.练习7．（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）设函数e2xfxax．(1)求fx的单调区间；【详解】（1）由题设()exfxa，当0a时，()0fx，则()fx在R上单调递增；当0a时，()0fx有lnxa，则()fx在(ln,)a上递增；()0fx有lnxa，则()fx在(,ln)a上递减；综上，0a，()fx在R上单调递增；0a，()fx在(,ln)a上递减，在(ln,)a上递增.练习8．（2023·北京·高三专题练习）已知函数()eaxfxx．(1)当1a时，求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；(2)求()fx的单调区间；【详解】（1）当1a时，e()xxfx，则()e1xfx，得(0)1f，(0)0f，所以曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程为1y．（2）由()eaxfxx，则()e1axfxa，当0a时，()0fx恒成立，此时()fx在R上单调递减；当0a时，令()0fx，解得lnaxa，此时()fx与()fx的变化情况如下：xln,aalnaaln,aa()fx-0+()fx↘极小值↗由上表可知，()fx的减区间为ln,aa，增区间为ln,aa，综上，当0a时，()fx的减区间为,，无增区间；当0a时，()fx的减区间为ln,aa，增区间为ln,aa．练习9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1e221axfxaxax，0a．(1)讨论fx的单调性．【详解】（1）由题意得11e2e21axaxfxaaax．若0a，则10ax，所以1e1ax，所以1e20axa，即()0fx¢，所以fx在1,上单调递增．若0a，令0fx，则ln21xa．故当ln21,1xa时，0fx，所以fx在ln21,1a上单调递减；当ln21,xa时，()0fx¢，所以fx在ln21,a上单调递增．练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数eaxfxx，sincos2gxxxx，(1)求函数fx的单调区间；【详解】（1）由()e1axfxa，当0a时，()0fx恒成立，则()fx在R上单调递减；当0a时，令()0fx，解得lnaxa，当ln(,)axa时()0fx；当ln(,)axa时()0fx()fx在ln(,)aa上单调递减，ln(,)aa上单调递增综上，当0a时，fx单调递减区间为(,).当0a时，()fx单调递减区间为ln(,)aa，单调递增区间ln(,)aa.题型三求导后为对数型例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数223()ln22fxxaxxxax．(1)记()()fxgx，若对定义域内任意的x，()0gx恒成立，求实数a的范围；(2)试讨论函数()fx的单调性．【答案】(1)2ea(2)见解析【分析】（1）求导得因式分解，根据对数函数的性质，分类讨论2xa的最值即可求解，（2）分类讨论导函数的正负即可得函数的单调性.【详解】（1）显然0x，21()(2)ln32(2)(ln1)fxxaxxaxxaxaxx即()(2)(ln1)0gxxax，对0x恒成立，当0ex时，maxln10,20,(2)2exxaax；当ex时，minln10,20,(2)2exxaax．综上，2ea．（2）由（1）知()(2)(ln1)gxxax①当0a时，20xa，当ex时，()0,()fxfx单调递增，当0ex时，()0fx，()fx单调递减，即当0a时()fx在(0,e)上递减，(e,)上递增②当0a时，当2ea时，由（1）知()0,()fxfx在(0,)单调递增当2ea时，当2ax时，20,ln0xax，当0ex时20,ln0xax,故当0ex和2ax