专题4.7 极值点偏移问题（原卷版）

专题4.7极值点偏移问题题型一对称变换法题型二差值代换法题型三比值代换法题型四对数均值不等式题型一对称变换法例1．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）（多选）已知关于x的方程e0xxa有两个不等的实根12,xx，且12xx，则下列说法正确的有（）A．1e0aB．122xxC．2xaD．11e0xx例2．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数232lnxfxxa，a为实数．(1)求函数fx的单调区间；(2)若函数fx在ex处取得极值，fx是函数fx的导函数，且12fxfx，12xx，证明：122exx练习1．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）已知函数ln2fxxax（aR）．(1)试讨论函数fx的单调性；(2)若函数fx有两个零点1x，2x（12xx），求证：12332xxaa．练习2．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知函数22ln2(1)(0)fxaxxaxa.(1)讨论fx的零点个数；(2)当fx有两个零点时，分别设为1x，212xxx，试判断12xx与2的大小关系，并证明.练习3．（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知函数5ln4fxkxxkkR．(1)求函数fx的单调区间和最大值；(2)设函数1gxfxkxx有两个零点12,xx，证明：122xx．练习4．（2023·全国·模拟预测）已知函数221e1eee2xfxxxx．(1)求函数fx的单调区间与极值．(2)若123123fxfxfxxxx，求证：31e12xx．练习5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数()lnfxxax．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当1a时，若1212()()()fxfxxx，求证：122xx题型二差值代换法例3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数11lnfxaxaxx，aR．(1)讨论函数fx的单调性；(2)若关于x的方程1elnxfxxxx有两个不相等的实数根1x、2x，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：122112ee2xxaxxxx．例4．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数lnhxxaxaR.(1)若hx有两个零点，a的取值范围；(2)若方程eln0xxaxx有两个实根1x、2x，且12xx，证明：12212eexxxx.练习6．（2022春·四川南充·高二阆中中学校考阶段练习）已知函数1ln3fxxxax．(1)若函数fx为增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数fx有两个极值点1x、212xxx．求证：12122fxfxxx．练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数e21xfxxa，212gxxaxa（其中e2.71828是自然对数的底数）(1)试讨论函数fx的零点个数；(2)当1a时，设函数hxfxgx的两个极值点为1x、2x且12xx，求证：21ee42xxa.练习8．（2022春·全国·高二期末）设函数22lnfxaxxax（aR）．(1)当0a时试讨论函数f(x)的单调性；(2)设22lnxxaax，记hxfxx，当0a时，若方程hxmmR有两个不相等的实根1x，2x，证明12'02xxh．练习9．（2022春·全国·高二期末）已知函数lnfxxx.(1)求函数fx的单调区间；(2)若函数yfx的图象与ymmR的图象交于11,Axy，2212,,Bxyxx两点，证明：12242ln2xx.练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数lnfxxx(1)求证：当1x时，21ln1xxx；(2)当方程fxm有两个不等实数根12,xx时，求证：121xxm题型三比值代换法例5．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数lnfxxxa，fxgxaaxx．(1)当1x时，ln2fxx≥恒成立，求a的取值范围．(2)若gx的两个相异零点为1x，2x，求证：212exx．例6．（2023·全国·模拟预测）已知函数elnxafxxxaxR．(1)讨论函数fx的极值点的个数；(2)若函数fx恰有三个极值点1x、2x、3123xxxx，且311xx，求123xxx的最大值．练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数lnfxx.(1)设函数lntgxxtxR，且gxfx恒成立，求实数t的取值范围；(2)求证：12eexfxx；(3)设函数1yfxaxaRx的两个零点1x、2x，求证：2122exx.练习12．（2022秋·福建宁德·高三校考期中）已知函数1()(1)xfxeax．(1)讨论()fx的零点个数．(2)若()fx有两个不同的零点12,xx，证明：124xx．练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数lnfxax，exgxb（e为自然对数的底数）(1)当ea时，恰好存在一条过原点的直线与fx，gx都相切，求b的值；(2)若1b，方程0xgxfxax有两个根12xx，，（120xx），求证：12212exxxx．练习14．（2023·新疆·校联考二模）已知函数2e22xafxxax，aR，其中e为自然对数的底数．(1)若fx有两个极值点，求a的取值范围；(2)记fx有两个极值点为1x、2x，试证明：121223xxxx．练习15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数lnxfxaxx.(1)若1fx，求实数a的取值范围；(2)若fx有2个不同的零点12,xx（12xx），求证：221212235xxa.题型四对数均值不等式例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1ln0fxaxxxx.(1)若fx有唯一零点，设满足条件的a值为1a与2a12aa证明：①1a与2a12aa互为相反数；②15843a；(2)设gxxfx.若gx存在两个不同的极值点1x、2x，证明12xxa.参考数据：ln20.7，ln31.1例8．（2022春·四川南充·高二统考期末）设函数22()ln()Rfxaxxaxa．(1)当0a时，讨论函数fx的单调性；(2)设22()(2)lnxxaxaax，记hxfxx，当2ea时，若方程Rhxmm有两个不相等的实根12,xx，求证：12xxa．练习16．（2022秋·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）已知函数2sinlnfxxxmx，singxfxx．(1)求函数gx的单调区间和极值；(2)若存在12,0,xx，且当12xx时，12fxfx，证明：1221xxm．练习17．（2023·全国·高三专题练习）设函数21ln1,,fxxxxmxRgxm为fx的导函数.(1)求gx的单调区间；(2)讨论gx零点的个数；(3)若fx有两个极值点12,,xx且12xx，证明：122xx.练习18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数sintanlnfxxxxaxb，0,2x.(1)求证：2sintanxxx，0,2x；(2)若存在1x、20,2x，且当12xx时，使得12fxfx成立，求证：1221xxa.练习19．（2023·四川绵阳·校考模拟预测）已知函数()ln(R)afxxax.(1)讨论()fx的单调性；(2)若fx有两个不相同的零点12,xx，设()fx的导函数为()fx.证明：1122()()2ln2xfxxfxa.练习20．（2023·全国·高三专题练习）设函数2ln1kxfxxx.(1)若0fx对2,x恒成立，求实数k的取值范围；(2)已知方程ln1113exx有两个不同的根1x、2x，求证：126e2xx，其中e2.71828为自然对数的底数.