专题5.4 三角函数综合练（解析版）

专题5.4三角函数综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023春·浙江宁波·高二校联考期中）角终边上有一点1,2P，则cos（）A．12B．2C．255D．55【答案】D【分析】利用任意角三角函数的定义求解.【详解】因为角终边上有一点1,2P，所以5rOP,所以15cos55xr，故选:D.2．（2023秋·浙江杭州·高三杭师大附中校考期末）若函数()cos3fxx在[0,a]上的值域是11,2,则实数a的最大值为()A．3B．23C．43D．53π【答案】C【分析】设3tx,当[0,]xa,则,33ta,画出cosyt的函数图像分析即可.【详解】设3tx,当[0,]xa,则,33ta，画出cosyt的图像,要使1,,1,332tay，必须533a,所以2433a，所以实数a的最大值为43.故选:C3．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）在下列四个函数，①sinyx②cosyx（3）π2sin23yx④π2tan10yx中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．②③④C．②③D．③④【答案】B【分析】对每一个函数逐一研究其周期即可得解.【详解】①sin,0sin=sin,0xxyxxx，为偶函数，不具有周期性，①不满足题意；②函数cosyx的图像是将cosyx的图像在x轴下方的全部对称到x轴上方，故函数cosyx的最小正周期为π，故②满足题意；③函数π2sin23yx的周期为2ππ2T，故③满足题意；④函数π2tan10yx的周期为πT，故④满足题意.故选：B.4．（广西邕衡金卷2023届高三第三次适应性考试数学（理）试题）已知sin3cos0，则osins3c（）A．910B．910C．109D．109【答案】A【分析】先求tan，再将目标式化为齐次式求解即可.【详解】由已知得：tan3，所以2223sincos3tan9cossincos13sit1nan0.故选：A5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知函数π()sin(),06fxx在ππ,64上单调递增，则f（x）在0,2π上的零点可能有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【分析】根据条件求出的取值范围，再运用整体代入法求解.【详解】由πππ2π2π,262kxkkZ，πππππππππ,2π2π642666462xkxk，即k只能取0，得2ππ33x，因为fx在ππ,64上单调递增，则2ππ,36ππ,34解得403，由0,2πx，则πππ,2π666x，设π6tx，则ππ,2π66t，因为ππ17π2π,666，17ππ8π2π2π3π6633，所以函数sinyt在ππ,2π66上的零点最多有2个；故选：A.6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）现代建筑物的设计中通常会运用各种曲线、曲面，将美感发挥到极致.如图所示是位于深圳的田园观光塔，它的主体呈螺旋形，高15.6m，结合旋转楼梯的设计，体现了建筑中的数学之美.某游客从楼梯底端出发一直走到顶部.现把该游客的运动轨迹投影到塔的轴截面，得到曲线方程为sin()(0,0)yAxA（x，y的单位：m）.该游客根据观察发现整个运动过程中，相位的变化量为11π4，则约为（）A．0.55B．0.65C．0.75D．0.85【答案】A【分析】根据建筑物的高，游客的初始位置和最后位置，表达出运动过程的位移变化量，即可计算出的值.【详解】由旋转楼梯高为15.6m知，投影到轴截面上后，对应曲线sin0yAxA0,中，游客移动的水平距离是15.6，∵初始时游客在最底端，∴当0x时，初相为，∵整个运动过程中，相位的变化量为11π4，且最后游客在最高点，∴最后的位置15.6，∴1115.6π4，解得：0.55，故选：A.7．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）已知函数()cos(3)cos(3)fxxx，则下列结论中正确的是（）A．()fx在区间1,2上单调递减B．()fx到的图像可由函数2cos3sinyx的图像向右平移π2个单位得到C．π3x是()fx图像的一条对称轴D．()fx的最大值为2cos3【答案】D【分析】结合三角函数的性质、图像变换和利用导数研究三角函数的单调性即可.【详解】因为()cos(3)cos(3)fxxxcoscos3sinsin3coscos3sinsin32coscos3xxxxx，所以()=2cos3sinfxx，对于A：1弧度57，所以2cos30，当1,2x时sin0x，所以()=2cos3sin0fxx，所以()fx在1,2x上单调递增，故A错误；对于B：将(2cos3)sinyx图像向右平移π2个单位得到π2cos3sin2cos3cos2yxxfx，即B错误.对于C：由导数的性质得，ππ=2cos3sin3cos3033f所以π3x不是极值点，即π3x不是()fx的对称轴，故C错误；对于D：当π2π(π)xkk时，min(cos)1x且2cos30，所以max()2cos3fx，故D正确；故选：D8．（2023·全国·高三专题练习）已知π43sinsin65，则πcos23（）A．125B．725C．2425D．925【答案】B【分析】根据三角恒等变换运算求解.【详解】由题意可得：π3131π43sinsin3sinsincossincossin6222265，则2ππππ167cos2cos2cos212sin1233662525.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（2022春·高三课时练习）下列说法中正确的有（）A．若3sin2，则1cos2B．已知角3ππ,2，若tan3，则310sin10C．已知角0,π，若3cos5，则4tan3D．对于任意角都有sintancos【答案】AC【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】对A，因为3sin2，所以21cos1sin2，正确；对B，tan3，3ππ,2，sin的值为负数，不正确；对C，0,π，3cos,5在第一象限，则sin4tancos3，正确；对D，当ππ,Z2kk时，cos0，tan不存在，故不正确.故选：AC.10．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）函数sin0,0,fxAxA的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．12sin36xfxB．若把fx图象上各点的横坐标缩短为原来的23，纵坐标不变，得到的函数在,上是增函数C．若把函数fx的图象向右平移2个单位，则所得函数是奇函数D．,33x，若332fxaf恒成立，则a的最小值为32【答案】AD【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据函数坐标得伸缩、平移与解析式之间得联系求出变换后的解析式即可判断出B、C，将定义域代入函数中解得值域即可判断出D.【详解】7π2π6π42TT，2π16π3，由图可知2A，将点2π,2代入解析式得2π2πππ2π2sin23326f，所以12sin36xfx，A正确；fx图象上各点的横坐标缩短为原来的23得12sin26gxx，所得函数增区间为12π4π224π4πZ226233kxkkxkk，B错误；fx的图象向右平移2个单位得1ππ1π2sin2sin32633xfxx，C错误；3π32sin326fxafxa，分离参数可得π32sin6ax，,33x时，πππ,626x，π32sin31,326x，所以a的最小值为32，D正确.故选：AD11．（2023春·辽宁沈阳·高三校联考期中）一半径为4.8m的水轮示意图如图所示，水轮圆心O距离水面2.4m，已知水轮每60s逆时针转动一圈，若当水轮上点P从水中浮出时（图中点0P）开始计时，则（）A．点P距离水面的高度mh与st之间的函数关系式为ππ4.8sin2.4306htB．点P第一次到达最高点需要10sC．在水轮转动的一圈内，有20s的时间，点P距离水面的高度不低于4.8mD．当水轮转动50s时，点P在水面下方，距离水面1.2m【答案】AC【分析】对于选项A，先由题意结合图象可判断函数关系为三角函数模型，代入相关数据即可；对于B项，由三角函数最值判定；对于C项，利用三角函数的单调性解不等式即可；对于D项，带入函数关系式求函数值即可.【详解】对于A，由题意可判定点P距离水面的高度mh与st的函数关系为三角函数模型，以水轮中心为原点，以平行水平面的直线x轴建立平面直角坐标系，当0t时，02.43,2.4P，以OP为终边的角为π6，根据水轮每60s逆时针转动一圈可知水轮的角速度为π30，由题意可得：ππ4.8sin2.4306ht，A正确；对于B，令ππ02π36t，解得20t，点P第一次到达最高点需要20s，B错误；对于C，令ππ4.8sin2.44.8060306tt，解得1030t，即在水轮转动的一圈内，有20s的时间，点P距离水面的高度不低于4.8m，C正确；对于D，当50t时，ππ4.8sin502.42.4306h，即点P在水面下方，距离水面2.4m，D错误，故选：AC．12．（2023春·江苏泰州·高三江苏省口岸中学校考阶段练习）下列各式中，值为12的有（）A．sin7°cos23°+sin83°cos67°B．4sin10°cos20°cos40°C．3cos10sin102sin25cos25D．1(1tan37)(1tan8)【答案】ABD【分析】对于A，由诱导公式及两角和的正弦公式化简求值；对于B，用二倍角公式化简求值；对于C，由二倍角公式及辅助角公式化简求值；对于D，先去括号，由两角和的正切公式化简求值.【详解】1sin7cos23sin83cos67sin7cos23cos7sin23sin