专题6.1 平面向量的线性运算，基本定理及坐标表示（原卷版）

专题6.1平面向量的线性运算，基本定理及坐标表示题型一平面向量的基本概念题型二平面向量的线性运算题型三已知平面向量的线性运算求参数题型四向量共线与三点共线题型五平面向量共线定理的推论题型六平面向量的坐标运算题型七平面向量基本定理题型一平面向量的基本概念例1．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考期中）下列说法中不正确．．．的是（）A．向量的模可以比较大小B．平行向量就是共线向量C．对于任意向量,ab，必有||||||ababD．对于任意向量,ab，必有||||||abab例2．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考期中）（多选）下列有关向量命题，正确的是（）A．若ab，则abB．已知0c，且acbc，则abC．若ab，bc，则acD．若ab，则ab且//ab练习1．（2023春·吉林·高三长春吉大附中实验学校校考期中）下列向量中不是单位向量的是（）A．1,0aB．1,1aC．cos,sinaD．0aaa练习2．（2023春·陕西宝鸡·高三统考期中）以下结论中错误．．的是（）A．若0ab，则//abrrB．若向量ABAC，则点B与点C不重合C．方向为东偏南70的向量与北偏西20的向量是共线向量D．若a与b是平行向量，则||||ab练习3．（2023春·四川成都·高三成都市第十八中学校校考期中）（多选）下列叙述中正确的是（）A．若//,//abbc，则//acrrB．若ab，则32abC．已知非零向量a与b且a//b，则a与b的方向相同或相反D．对任一非零向量,aaa是一个单位向量练习4．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）下列说法错误的是（）A．若ABCD为平行四边形，则ABDCB．若ab∥，bc∥，则ac∥C．互为相反向量的两个向量模相等D．0NQQPMNMPuuuruuuruuuruuurr练习5．（2023春·陕西西安·高三西安市第八十三中学校考期中）（多选）下列说法正确的是（）A．平行向量不一定是共线向量B．向量AB的长度与向量BA的长度相等C．ABAB是与非零向量AB共线的单位向量D．若四边形ABCD满足ABDC，则四边形ABCD是矩形题型二平面向量的线性运算例3．（2023春·吉林·高三校联考期中）已知ABC，2BDDC，E为AD的中点，记ABa=，ACb，则BE（）A．5163abB．5163abC．2136abD．2136ab例4．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（）A．ABADACB．ACCDDOOAC．ABADDBD．0ACBADA练习6．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）化简ABBCAD（）A．ACB．CDC．DCD．DB练习7．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，BC＝2AD，DE＝EC，设BAa，BCb=，则BE（）A．1124ab+rrB．1536abC．22ab33D．1324ab练习8．（2023·河北·统考模拟预测）已知D为ABC所在平面内一点，且满足13CDDB，则（）A．3122ADABACB．2133ADABACC．43ABADACD．34ABADAC练习9．（2023春·北京·高三汇文中学校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，12BDAD（）A．CAB．ACC．12ACD．12CA练习10．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考期中）下列式子中，不能化简为PQ的是（）A．ABPABQB．ABBPAQC．QCQPCQD．BQBP题型三已知平面向量的线性运算求参数例5．（2023·广东广州·统考模拟预测）在ABC中，M是AC边上一点，且1,2AMMCN是BM上一点，若19ANACmBC，则实数m的值为（）A．13B．16C．16D．13例6．（2023·北京·高一专题练习）在ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，若(,)ABCMBNR，则（）A．2B．1C．1D．2练习11．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知ABC的边BC的中点为D，点E在ABC所在平面内，且32CDCECA，若ACxAByBE，则xy（）A．5B．7C．9D．11练习12．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考期中）平行四边形ABCD中，点E满足3,(,)ACAEDEABADRuuuruuuruuuruuuruuur，则（）A．13B．-1C．1D．13练习13．（2023春·陕西·高三校联考期中）如图，在平行四边形ABCD中，2,(0)ADDEBFFC.(1)若4，试用,ABAD表示,AFEF；(2)若AF与BE交于点G，且//DGEF，求的值.练习14．（2023春·四川成都·高一校考期中）在ABC中，点M，N满足2AMMC，BNNC，若MNxAByAC，则xy（）A．16B．13C．12D．1练习15．（2023春·广东佛山·高三校考阶段练习）已知在ABC中，点D为边BC的中点，若ADBCABAC，则（）A．1B．2C．1D．2题型四向量共线与三点共线例7．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，i，j分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，已知2OAij，34OBij，2(5)OCtitj，若AB与AC共线，则实数t的值为（）A．4B．1C．3D．2例8．（2023春·广东深圳·高一深圳中学校考期中）已知,,,MNPQ是平面内四个互不相同的点，,ab为不共线向量，5MNab，24NPab，3PQab，则（）A．M，N，P三点共线B．M，N，Q三点共线C．M，P，Q三点共线D．N，P，Q三点共线练习16．（2021春·高三课时练习）已知21,ee为平面内所有向量的一组基底，R，12aee，12be，则a与b共线的条件为（）A．0B．20eC．12ee∥D．12ee∥或0练习17．（2023春·四川成都·高三川大附中校考期中）设a，b是两个不共线的非零向量，则“ab与4ab共线”是“2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件练习18．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且ab与c共线，bc与a共线，那么abcrrr等于（）A．aB．bC．cD．0练习19．（2023春·陕西西安·高三交大附中校考阶段练习）（多选）设向量a、b是不共线的两个平面向量，已知sinPQab，其中0,2，2QRab，若P、Q、R三点共线，则角的值可以是（）A．6B．56C．76D．116练习20．（2022春·高一课时练习）已知、、ABC三点共线，P是直线外一点，若23PBPAPC，则23________．题型五平面向量共线定理的推论例9．（2023春·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考期中）已知、、ABC三点共线于直线l，对直线l外任意一点O，都有4OCmOAnOB(,0)mn，则12mn的最小值为________．例10．（2022秋·江西宜春·高三校联考期末）△ABC中，D为AB上一点且满足3ADDB，若P为CD线段上一点，且满足APABAC（，为正实数），则下列结论正确的是（）A．3144CDCACBB．432C．的最大值为112D．113的最小值为3练习21．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）ABC中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且45ADAM，ANAB.则（）.A．23B．34C．45D．56练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知D为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，A关于点O的对称点为C，若ODxOByOC，则xy的值为（）A．1B．0C．1D．2练习23．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知P是平行四边形ABCD对角线上的一点，且APABAD，其中0,1,0,1，写出满足条件的与的一组,的值__________．练习24．（2023春·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期中）如图所示，在ABC中，D为BC边上一点，且2BDDC，过D的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）.(1)用AB，AC表示AD；(2)若AEAB，AFAC，求2的最小值.练习25．（2023秋·辽宁抚顺·高三抚顺一中校考期末）在平行四边形ABCD中，,MN分别为,ABAD上的点，且2,AMMBANND，连接AC，与MN交于点P，若APAC，则的值为______.题型六平面向量的坐标运算例11．（湖南省名校2023届高三考前仿真模拟（二）数学试题）（多选）已知向量2,1a，a//b，=2bc，1,2c，则（）A．acB．acC．4,2bD．bac例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知向量1(1,2)e，2(2,1)e，若向量1122aee，则可使120成立的a可能是（）A．(1,0)B．0,1C．(3,0)D．(0,1)练习26．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）已知向量3,2a，1,2b，4,1c.(1)求2abc；(2)若//2kacab，求实数k的值.练习27．（2023春·贵州·高一校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点1,2,2,3,2,1ABC.(1)求以线段ABAC、为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)若实数t，满足ABtOCAC，求,t的值.练习28．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若向量5,1AB，2,2BC，,21CDmm，且//ACCD，则m（）A．13B．13C．1D．1练习29．（2023春·全国·高三专题练习）已知向量2,1a，,2bm，abab，则实数m的值为（）．A．1B．12C．12D．1练习30．（2023春·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考期中）已知向量2,6a，3,bm，若abab，则m＝______．题型七平面向量基本定理例13．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点，1,1OA，3,4OB，点P在线段AB上，且1AP，则点P的坐标为______．例14．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）（多选）在下列各组向量中，能作为平面的基底的是（）A．120,0,1,2eeB．121,2,5,2eeC．123,5,6,10eeD．122,3,2,3ee练习31．（2023·全国·高三专题练习）若21,ee是一组基底，向量12mxeye，则称(,)xy为向量m在基底21,ee下的坐标，现已知向量a在基底(1,1),(2,1)pq下的坐标为(2,1)，则向量a在另一组基底(2,1),(4,1)mn下的坐标为（）A．(2,1)B．(1,2)C．(1,2)D．(2,1)练习32．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，在ABC中，12BMBC，NCAC，直线AM交BN于点Q，若57BQBN则_________.练习33．（2023·全国·高三专